4.3 用图象表示的变量间关系1．小华来校的路上，骑自行车的速度与时间的关系如图，你能想象出他来校时路上的情景吗？2．下图所示是表示两个变量之间关系的图，请根据公式想象一个适合它的场境．3．全世界每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源，已成为一项十分紧迫的任务．某地区沙漠原有面积100万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续3年的观察，并将每年年底的观察结果记录如表甲．根据这些数据描点、连线，绘成曲线图乙，发现连续成直线状．观察时间该地区沙漠比原有面积增加数第1年底0.2万公顷第2年底0.4万公顷第3年底0.6万公顷表甲图乙预计该地区沙漠的面积将继续按此趋势扩大．（1）如果不采取任何措施，那么到第年底，该地区沙漠的面积将变为多少万公顷；（2）如果第5年底后，采取植树造林等措施，每年改造0.8万公顷沙漠，那么到第几年底，该地区沙漠的面积能减少到95万公顷？4．如图，小彬和爸爸一起去车站接从外地学习回来的妈妈，在去的过程中小彬坐在汽车上看着时速表，用所学知识绘制了一张反映小车速度与时间的关系图，第二天，小彬拿着这张图给同学看，并向同学提出如下问题，你能回答吗？（1）在上述变化过程中，自变量是什么？因变量是什么？（2）小车共行驶了多少时间？最高时速是多少？（3）汽车在哪段时间保持匀速运动？速度是多少？（4）汽车在哪段时间内速度在增加？哪段时间内速度在减少？5．一辆红旗轿车上午在10：00开始出发，如图反映了这辆轿车行驶的路程与时间的关系。（1）这辆轿车总共行驶的路程是多少？共用了多长时间？（2）在这一过程中何时离出发点最远？最远相距多少？（3）请你分别计算一下轿车在2小时、3小时、4小时内的平均速度各是多少？请你精心计算一下汽车在整个行程中的平均速度。（4）请你想象一下，在2至3小时之间可能发生了什么情况。（5）你能找一个实际情境，大致符合如图所刻画的关系吗？相信自己一定行。6．一个农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零花钱，按市场价销售出一些后，又降价销售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图回答问题：（1）农民自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克土豆的售价是多少？（3）降价后他按每千克0.4元将剩余的土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆？7．如图表示一辆自行车一一辆摩托车沿相同的路线由甲地到乙地行驶过程的图象，两地间的距离是80千米，请你根据图象回答或解决以下问题：（1）谁出发的最早？早多长时间？（2）谁到达乙地较早？早到多长时间？（3）两人在图中行驶的速度分别是多少？参考答案1．小华开始加速行驶一段时间后，开始减速行驶，后停车休息一段又开始加速行驶，后匀速行驶一段时间，开始减速行驶到停止．2．横、纵轴标注上变量后可根据实际说明（答案不惟一）3．（1）（2）第16年底，沙漠面积减少到95万公顷（提示）：，得，，所以到第16年底，沙漠面积减少到95万公顷）4．（1）时间，速度．（2）24分，80千米／时．（3）3至9分，80千米／时．（4）0至3分钟和18至21分钟速度在增加，9至15时和21至24时速度在减少．5．（1）1000千米，8小时．（2）4时最远，最远相距500千米．（3）300÷2＝150千米／时，300÷3＝100千米／时，500÷4＝125千米／时，1000÷8＝125千米／时．（4）例如：吃午饭，只要合理即可．（5）略．只要合理即可．6．（1）5元（2）（20－5）÷30＝0.5元（3）解：设他共带了千克土豆，则，解得．7．（1）自行车出发的早，早3小时（2）摩托车到达乙地早，早3小时（3）自行车的速度：80÷8＝10千米/时，摩托车的速度：80÷2＝40千米/时．

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4.1 用表格表示的变量间关系1．某百货商场为研究销售规律，对在店顾客人数作了分时段统计，下面的表格是该商场某日从早9时到晚18时，每隔1小时所作的在店顾客人数统计（单位：百人）．时 刻9101112131415161718在店人数（百人）3798863321（1）什么时间商店人最多？什么时间商店人最少？（2）哪段时间之内商店人比较多，哪段时间内商店人的人比较少？（3）根据这个统计表，如果你是管理者怎样安排员工的工作时间．2．2000年7月1日国家规定的整存整取定期储蓄利率如下：存期三个月半年一年二年三年五年年利率1.98%2.16%2.25%2.43%2.70%2.88%（1）年利率是如何随存期的变化而变化的？你如何选择存期？（2）现有人民币10000元，两年后才用，假定按2000年7月1日的利率存入银行．试问下面两种存款方式中：a. 一个两年期，b. 一个一年期，接着又一个一年期，选择哪一种存款方式能获得最大利息？3．研究表明，弹簧挂上物体后会伸长，知弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如下表：物体质量/kg01 2 3 4…弹簧长度/cm88.599.510…（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪是自变量？因变量？（2）当物体的质量为3kg时，弹簧的长度是多少？（3）如果物质质量为kg，弹簧的长度为cm，根据上表写出与的关系式．（4）当物体质量为3.5kg，你能说出弹簧的长度吗？（5）当弹簧长度为12.5cm时，根据（3）求出所挂物体质量．参考答案1．（1）11时人最多，约9百人；18时人最少约1百人（2）10时至14时之间人较多；其他时间人较少（3）在人多时增加员工，在人少时减少员工．2．（1）随着存期的增加利率也提高（2）a可得利息486元，b两次共得利息480.0625元，应选a．3．（1）弹簧长度随物体质量的变化规律，物体质量是自变量，弹簧长度是因变量（2）9.5cm（3）（4）9.75（5）9kg

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3.3 探索三角形全等的条件一、选择题1．如图，在中，为BC边中点，那么以下结论不正确的是（ ）A．≌B．C．AD平分 D．是等边三角形2．如图，，则（ ）A．45°B．55°C．35°D．65°3．已知：如图，AB与DC相交于点，若使≌，则（ ）A．应补充条件 B．应补充条件C．不用补充条件 D．以上说法都不正确4．如图，已知，则图中全等三角形的总对数是（ ） A．3B．4C．5D．6二、填空题1．如图，已知，则≌____，≌____．2．如图，若点E、F在DC上，，则____≌____，根据是____．3．如图，BE平分，且，则____≌____，根据是_________；，根据是______．4．已知在和中，，若≌，还需要的条件是_____________5．如图，在中，于于F，且与DC相等吗？你能说明下面小明思考过程的理由吗？①__________________②_________________三、解答题1．如图，已知C在BD上，和全等吗？若全等请说出根据． 2．如图，已知，问和全等吗？若全等请说出根据．3．如图，已知的交点是E，并且与相等吗？试说明你的答案．4．如图：已知，，那么≌吗？5．如图，D是的边AB上一点，DF交AC于点，那么吗？参考答案一、选择题1．D 2．B 3．C 4．D二、填空题1．2． 3．，全等三角形对应边相等4．或或5．①：AAS②全等三角形的对应边相等三、解答题1．全等，根据：2．全等，根据：或3．相等（提示≌）4．∴即在和中∴≌（SSS）5．∴在和中∴≌（ASA）∴

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3.1 认识三角形1，一个木工师傅现有两根木条，它们长分别为50cm，70cm，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架，设第三根木条为xcm，则x的取值范是 .2，如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边是奇数，那么第三边长为 ，如果第三边长为偶数，则次三角形的周长为.3，如果一个等腰三角形的两已知边长分别为4cm和9cm，则此等腰三角形的周长为 .4，已知五条线段长分别为1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，以其中三条为边长可以构成个不同的三角形.5，在△ABC中，若∠B=∠C=40º，则∠A= .6，在△ABC中，∠ABC=90º，∠C=43º，则∠A= .7，在△ABC中，AD是角平分线，若∠B=50º，∠C=70 º，则∠ADC=.8，如果△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：5，则此三角形按角分类应为 .9，直角三角形两锐角平分线相交所成的钝角为 .10，△ABC中，三边长为a，b，c，且a>b>c，若b=8，c=3，则a的取值范围是（）A.3<a<8B.5<a<11C.8<a<11 D.6<a<1011，三角形中最大的内角不能小于（ ）A.30ºB.45º C.60ºD.90º12，在△ABC中，∠A=50º，∠B，∠C的平分线相交于0，则∠BOC的度数为（ ）A.65ºB.130ºC.115º D.100º13，如图所示，图中的三角形有（ ）A.6个 B.8个 C.10个D.12个 14，已知a，b，c为△ABC的三边，化简： |a+b-c|+|b-c-a|-|c-a-b|.15，三角形中有一边比第二条边长3cm，这条边又比第三条边短4cm，这个三角形的周长为28cm，求最短边的长。参考答案1，20<x<1202，3或5103，22cm 4，两5，100º6，47º 7，80º 8，直角三角形 9，135º 10，C11，C12，C 13，B 14，由a+b>c知，a+b-c>0，b-c-a=b-（a+c）<0，c-a-b=c-（a+b）<0，故|a+b-c|+|b-c-a|-|c-a+b|=a+b-c+a+c-b+a-b-c=3a-b-c15，设第二边长为xcm，则第一边长为（x+3）cm，第三边长为（x+7）cm，又x+x+3+x+7=3x+10=28，解得x=6cm即为最短边长.

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认识三角形 同步练习一、基础训练1. 关于下列说法中，错误的是（ ）A．△ABC的三个顶点分别为A、B、CB．△ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠CC．△ABC的三条边分别为AB、BC、ACD．AB+BC<AC2．顶点是A、B、E的三角形记作3．如图点P为三角形内的一点，则图中有个三角形.二、技能训练4. 如图,BF上有两点D、C,AC与DE相交于点G，则下列三角形的表示中，不能在图中找到的是( )A. △ABC B. △DCGC. △BCDD. △DEF5．已知一个三角形的两边条分别为3cm、4cm，则第三边的长可以是 cm.（只要写出一个）三、拓展提高6．下列线段中不能组成三角形的是（ A．2，2，1B．2，3，5C．3，3，3D．4，3，5 7．有四条线段，它们的长分别是2cm、3cm、4cm、5cm，以其中的三条线段为边长，共可组成几种不同的三角形. 1．1认识三角形（二）一、基础训练1. 在△ABC中，∠A=75°，∠B=55°，则下列关于∠C的说法正确的是（ ）A．它是个钝角 B．它等于70°C．它是个锐角D．它是个直角2．已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：5，则△ABC是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形D．不能确定三角形的形状3．已知：如图，∠1是△ABC的一个外角，且∠1=110°，∠A=75°，则∠B= . 二、技能训练4. 多边形的边数由4增加到8，则其外角和的度数（）A．增加 B．减少C．不变 D．无法确定5．在△ABC中，∠A=∠B，∠C=34°，则∠B=度.6．若n边形的内角和与m边形的内角和的差为540°，则n-m=.三、拓展提高7．如图，在△ABC中，∠C=30°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于.8.在长方形ABCD中，如图，E为AB上一点，连结DE、EC，∠ADE=40°，∠BCE=60°，求∠1、∠2、∠3的度数.参考答案1．1认识三角形（一）一、基础训练1. D2．△ABE3．4二、技能训练4. C5．1到7之间的数,如5三、考题链接]6．B7．解：2cm、3cm、4cm；3cm、4cm、5cm；2cm、4cm、5cm.共可组成三种不同的三角形1．1认识三角形（二）一、基础训练1.C2.A3.35°二、技能训练4. C5．736．3 提示：180°（n-2）-180°（m-2）=540°,化简得n- m=3三、考题链接7．210°8.解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠A=∠B=90°，在△ADE中，∵∠ADE+∠A+∠1=180°，且∠ADE=40°∴∠1=180°-∠ADE-∠A=180°-40°-90°=50°在△BCD中，∵∠BCE+∠B+∠3=180°，且∠BCE=60°∴∠3=180°-∠BCE-∠B=180°-60°-90°=30°∵E为AB上一点∴∠1+∠2+∠3=180°∴∠2=180°-∠1-∠3=180°-50°-30°=100°答：∠1、∠2、∠3的度数分别为50°、30°、100°

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3.4 用尺规作三角形1．选择题（1）用尺规作图，下列条件中可能作出两个三角形的是（ ） A．已知两边和夹角B．已知两边及其一边的对角 C．已知两角和夹边D．已知三条边（2）如图，在中BC边上的高是（ ） A．CEB．CFC．ADD．AC2．作出下列三角形（1）中，；（2）中，cm；（3）中，；（4）中， cm．3．已知：两条直角边分别为a、c，求作一个直角三角形（保留作图痕迹）4．已知线段a、b，求作，使得5．作出下列三角形（1）中，；（2）中，边上的高．6．亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，他想在作业本上画一个与书上完全一样的三角形，他该怎么办？你能帮助他画出来吗？参考答案1．（1）B（2）C2．略3． ∴Rt即为所求作三角形4．∴即为所求作三角形5．（1）提示：先作，在BF上截取cm，以A为圆心，以3cm为半径画弧交的对于C、点，连结AC、就得到所求作三角形．（2）提示：先作一条直线，在直线上任取一点作这条直线的垂线段等于4cm，这就是这个三角形的高． 6． 则与书上三角形完全一样

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认识三角形1、已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A13cm B 6cmC 5cmD4cm2、在下列长度的四根木棒中，能与3cm，7cm两根木棒围成一个三角形的是（ ）A7cmB4cm C 3cmD10cm3、如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为（）A 35° B 45° C55° D 65°4、已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为（）A60° B 75° C90° D120°5、如图2，已知AB∥CD，则（ ）A ∠1=∠2+∠3 B∠1=2∠2+∠3 C∠1=2∠2－∠3D ∠1=180°－∠2－∠36、如图所示，则△ABC的形状是（ ）A锐角三角形B 钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形7、在△ABC中，若AB=8,BC=6,则第三边AC的长度m的取值范围是 8、等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为9、△ABC的边长均为整数，且最大边的边长为7，那么这样的三角形共有 个10、在△ABC中，∠A=45°，∠B =22°，则∠C= 11、在△ABC中∠A：∠B=2：1，∠C=60°则∠A= 12、如图4，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3= 13、如图，P为△ABC中BC边的延长线上一点，∠A=50°，∠B=70°，则∠ACP=EDABCA2B13DCCB2β3ββ�A321BCPA图4 图514、若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为 度15、有两根长度分别为5cm和7cm的木棒，用长度为6cm的木棒与它们能组成三角形吗？16、一轮船要从A处驶向B处，如图，由于受大风影响，轮船一开始就偏离航线9°，航行到C处时发现∠ABC=11°，此时，轮船应把船头调转多少度的方向才能到达B处？ 能力提升17、如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（）A 15 B16 C8 D718、已知△ABC中，,则∠A= 度三角形中的有关线段19、如图6，∠ACB>90°，AD⊥BC，BE⊥AC,CF⊥AB,△ABC中BC边上的高是（）A FCBBE CAD DAE20、如图7，已知∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，则图中与∠A相等的角是（）A∠1B ∠2 C ∠BD∠1，∠2和∠B21、能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是（）DBCAA 中线 B角平分线 C高线D 三角形的角平分线22、如图8，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则AB=2=2 ,BD=,AE= 图6图7 图823、如图9，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B=32°，∠C=66°，则∠ADC=°24、如图10，△ABC中，∠A=60°，∠ABC，∠ACB的平分线BD,CD交于点D，则∠BDC=图9 图1025、如图11，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，CD平分∠ACB。求∠ACD的度数。EF

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作三角形一、填空题（每小题10分，共20分）1．如图1，已知线段abc，，．求作ABC△，使BCa，ACb，ABc．作法为：①作线段BC；②在BC的同旁，以C点为圆心，以为半径作弧，再以为半径作弧，两弧的相交点即为点；③连结与 ，便可得ABC△．2．如图2，已知AOB∠，求作AOB∠，使得AOBAOB∠∠．作法为：①作射线OA；②以 点为圆心，以任意长为半径作，交OA于C点，交OB于D点；③以点O为圆心，以 长为半径作弧，交OA于C；④再以点C圆心，以 长为半径作弧，交前弧于D；⑤经过点D作射线，那么， 就是所求的角．二、基础作图题（1~5每小题8分，6小题10分，共50分）1．如图3，已知线段a，作一线段等于3a．2．如图4，已知∠，∠且∠∠，求作∠∠∠．3．如图5，已知45A∠，线段ABm，ACn．求ABC△．[来4．如图6，已知线段am，．求作：等腰三角形ABC，使底边BCa，底边上的高ADm．5．如图7，已知线段c，∠．求作：直角三角形ABC，使90C∠，A∠∠，ABc．6．如图8，已知AOB∠和OA边上两点DC，．求作点P，使P在OB上且它到DC，两点的距离相等．三、应用作图题（每小题10分，共30分）1．钳工小江需要在如图9一块铁片上打一个孔，要求打孔位置C点离点A为4.5厘米，离点B为3厘米，问要如何画线确定C点的位置．2．如图10，一条主自来水管从AB，两村中间穿过，现准备从主自来水管上开一阀门，分别向两村引去自来水，要求向两村的引水管长度相等，请你确定阀门C点的位置．3．如图11，是一块工业用模板的图形，如果要在一块长方形铁板上切割下来与图形一致的板块，问应该怎样在铁板上划线确定图形参考答案一、1．abBcA，，，，，ABAC， 2．O，弧，OCOD，，OB，AOB∠二、1．略． 2．略．3．提示：作线段ABm，从A点作射线，使45A∠，在射线上截取ACn，连结BC，则ABC△即为所求作三角形．4．提示：作线段BCa，作线段BC垂直平分线交BC于D点，在垂直平分线上截取ADm，连结ABAC，，便可得等腰三角ABC．5．提示：先作A∠∠，在一边上截取ABc，过B点作BC垂直于另一边于C点．6．提示：作线段DC的垂直平分线，其与OB交点即为P．三、1．提示：在AB连线的上方，以A点为圆心，以4.5厘米为半径画弧；再以B点为圆心，以3厘米为半径画弧，两弧的交点即为C点的位置．2．提示：连结AB，作AB的垂直平分线l，l与主自来水管的交点即为C点的位置．3．提示：先作线段CD，再作BCCD于C点，EDCD于D点，以B点为圆心，以AB长为半径，在BE上方画弧，再以E点为圆心，以AE长为半径，在BE上方画弧．两弧交点即为A点，连ABAE，即可确定多边长ABCDE的位置．

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三角形1．口算(1)70×101　 (2)0.85×10(3)90＋9.9　 (4)0÷1(5)24×25 (6)2.2＋2.5(7)4.5－2 (8)9－0.012．填空(1)由(　 )条(　 )围成的图形叫做三角形，三角形具有()性。(2)三角形按角可分为(　 )、(　 )和(　 )。(3)(　 )都是(　 )的三角形叫做锐角三角形，两条边相等的三角形叫做(　 )。(4)有一个三角形的三个角中，有两个角的和是90°这个三角形既是()，也是(　 )。(5)有一个三角形的三个角中，有两个角分别是40°和55°，另一个角是()。3．判断下面图形，哪些是三角形，哪些不是三角形。4．下面的说法对吗？(1)是直角三角形　 (　 )(2)是钝角三角形　 (　 )(3)是锐角三角形 (　 )(4)是等腰三角形 (　 )5．画出下面每个三角形的高6．根据下面给出的条件画三角形(1)两条边分别长3厘米和6厘米，它们的夹角是60°。(2)两条边长各是5.5厘米，夹角是90°。7．用简便方法计算下面各题(1)84.67－(14.67＋15.3)(2)4.02－3.5＋0.98(3)7.28－4.8－2.2＋6.72(4)(6.6－2.91)＋(3.4－1.09)8．下图是由等腰三角形和钝角三角形组成的，等腰三角形中AB=BC，填上适当的度数。∠ACB=(　 )∠ABD=(　 )∠ADC=(　 )∠ACD=(　 )答案1．(1)7070　 (2)8.5　 (3)99.9　 (4)0　 (5)600　 (6)5　 (7)2.2(8)8.992．(1)三；线段；稳定　 (2)锐角三角形；直角三角形；钝角三角形(3)三个角；锐角；等腰三角形　 (4)直角三角形；锐角三角形　 (5)85°3．(1)×　 (2)×　 (3)×　 (4)×　 (5)√4．(1)×　 (2)×　 (3)×　 (4)√5．略6．略7．(1)54.7　 (2)1.5　 (3)7　 (4)68．78°；24°；73°； 102°

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《用尺规作三角形》典型例题例1已知线段a、b，求作，使得．例2已知，三角形的两个内角分别是50°和60°，其中60°角所对的边是3cm，求作这个三角形．例3已知，三角形的两条边分别是3cm和4cm，且3cm这条边所对的角是30°，求作这个三角形．例4已知：和线段c，求作：，使得参考答案例1分析：假定已作出，那么应有．是BC、AC的夹角，本题是已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形．直角可以用直角三角形的直角来作．解：作法：（1）作；（2）在PC、QC上分别截取线段；（3）连接AB．则即为所求作的三角形．例2分析：根据三角形内角和等于180°，可求出所作三角形的另一个角是70°，这就变成了已知三角形的两个角和其夹边来作这个三角形．作法：根据三角形内角和等于180°，可求得该三角形的另一个角是70°．（1）作线段cm．（2）以AB为边，分别以A、B为顶点作．（3）的另一边交于C点，则就是所求作的三角形．说明：由这个题我们可以知道，只要给出三角形的两个角和一个边，就可以作出这个三角形．例3分析：先作一个30°角，再作出它的一个邻边，只要再把三角形30°角所对的边确定了，所作的三角形就确定了．作法：（1）作30°角；（2）截cm；（3）以B为圆心，以3cm为半径画弧，交30°角的一边于C、点；（4）连结BC、，得到的和都是符合要求的三角形．说明：给出三角形的两边和一边的对角，作三角形，有时可以作出两个，这也是全等三角形，不存在判别方法的原因．例4分析：本题是已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形．关键是的作法，，可以先以AB为一条边，作，再以PA为一条边，作，则．解：作法：（1）作线段；（2）以B为顶点，以BA为一条边，作；（3）在AB的同侧，以A为顶点，以AB为一条边，作，射线BM、AQ相交于点C．则即为所求作的三角形．

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3.4 用尺规作三角形一、判断题1.只要知道三角形的三个基本元素，就可以作出惟一的三角形.（）2.用量角器作一个角等于已知角也是尺规作图的一种.（）3.已知两边和一角一定能做出惟一的三角形.（）4.作一个角等于已知角是尺规作图中的最常用的基本作图之一.（）二、填空题1.在几何里，把只用_________和_________画图的方法称为尺规作图.2.完成下列作图语言：（1）作射线_________（2）以点O为圆心，以OB为半径画弧，交射线_________于点B.（3）延长线段_________到_________，使_________=_________.（4）以_________为圆心，以_________为半径作弧，交_________于_________，交_________于_________.三、选择题1.尺规作图的画图工具是（）A.刻度尺、圆规B.三角板和量角器C.直尺和量角器D.没有刻度的直尺和圆规2.利用基本作图，不能作出惟一三角形的是（）A.已知两边及其夹角B.已知两角及夹边C.已知两边及一边的对角D.已知三边3.已知三边作三角形，用到的基本作图是（）A.作一个角等于已知角B.作已知直线的垂线C.作一条线段等于已知线段D.作一条线段等于已知线段的和4.用尺规画直角的正确方法是（）A.用量角器 B.用三角板C.平分平角D.作两个锐角互余5.作△ABC的高AD，中线AE，角平分线AF，三者中有可能画在△ABC外的是（）A.ADB.AEC.AFD.都有可能四、用尺规作图已知线段a及锐角α，求作：三角形ABC，使∠C=90°，∠B=∠α，BC=a.（1）（2） （3）图2作法：1.作∠MCN=90°.2.以_________为圆心，_________为半径，在CM上截取_________.3.以_________为顶点，_________为一边作∠ABC=_________交CN于点A.连结AB，则△ABC即为所作的三角形.参考答案一、1.×2.×3.×4.√二、1.直尺圆规2.（1）OA（2）OA（3）ABCBCAB(4)OODOADOBE三、1.D2.C3.C4.C5.A四、2.CaCB=a3.BBC∠α

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用尺规作三角形习题精选（一）1．(1)已知：线段α，∠α.求作：△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α.(2)比较△ABC中∠B、∠C的大小，可知∠B∠C，于是可以猜想：一个三角形中，相等的边所对的角 [2．(1)已知：线段b，∠β求作：△ABC，使BC=b，∠B＝∠C＝∠β(2)比较△ABC中AB、AC的大小，可知ABAC，于是可以猜想：一个三角形中，相等的角所对的边.3．已知：线段c，∠1.求作：△ABC，使∠C=90°，∠A=∠1，AB=c.[4．已知两条直角边，求作直角三角形(要求写出已知、求作、作法).5．已知一条直角边和斜边上的高，求作直角三角形(要求写出已知、求作、作法).6．已知：线段a、b.求作：等腰三角形△ABC，使AB=AC=a，高BD=b.7．已知：∠α和线段a、h(a＞h).求作：△ABC，使∠BAC=∠α，角平分线AD=a，高AH=h.参考答案：1．(1)略(2)= 相等.2．(1)略(2)=相等3．作法：(1)作∠EAF=∠1.(2)在射线AE上截取AB=c.(3)过点B作BC⊥AF交AF于C，则△ABC就是所求作的三角形4．已知：线段a、b，求作：△ABC，使∠C=90°，AC=b，BC=a.提示：先作∠C=90°.5．已知：线段a、h.求作：△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，高CD=h.提示：先作出Rt△BCD，使∠BCD=90°，BC=a，CD=h.6．提示：先作Rt△ABD，使∠ADB=90°，AB=a，BD=b.7．提示：先作Rt△ADH，使∠AHD=90°，AD=a，AH=h.11.7 用尺规作三角形习题精选(二)一、训练平台（每小题6分，共24分）1．如图11-55所示，已知线段a，c。求作Rt△ABC，使∠C＝90°，BC＝a，AB＝c。2．如图11-56所示，已知两边a，b，求作等腰三角形ABC。3．如图11-57所示，已知线段m，n，∠A。求作△ABC，使AB＝m，AC＝n，∠A＝∠a。4．如图11-58所示，已知线段b，m（m＞b），求作Rt△ABC，使∠C＝90°，AC＝b，BC边上的中线AD＝m。能力升级二、提高训练（每小题6分，共24分）1．如图11-59所示，已知钝角三角形ABC，求作中线BE、角平分线AD、高CF。2．如图11-60所示，已知△ABC。求作AC上一点D，使点D到∠B两边的距离相等。]3．如图11-61所示，已知△ABC中的∠A和∠B分别等于图中的，，求作∠MON，使∠MON＝∠C。4．如图11-62所示，已知△ABC。求作△ABC的三边中垂线。三、探索发现（每小题7分，共42分）1.．如图11-63所示，已知线段c，求作Rt△ABC，使∠C＝90°，AB＝c，AC＝BC。2．如图11-64所示，已知线段b，。求作Rt△ABC，使∠C＝90°，AC＝b，A。3．如图11-65所示，已知线段a，b，c。求作△ABC，使AB＝c，AC＝a，BC＝b。4．如图11-66所示，已知线段b，m（b＞m）。求作△ABC，使AB＝AC＝b，且BC边上的高为m。[来5．如图11-67所示，已知∠A，求作的补角的平分线6．如图11-68所示，已知△ABC。求作BC边上的中线AD。四、拓展创新（共10分）如图11-69所示，已知线段c和，。求作△ABC，使A，B，AB＝c。

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3.2 图形的全等一、选择题1．已知≌，且，则（ ）A．50°B．100°C．30°D．50°或100°或30°2．已知≌，且，则＝（ ）A．3cmB．4cmC．5cmD．以上都不对3．若两个三角形（），则一个三角形，和另一个三角形全等．A．面积相等B．周长相等C．对应边相等，对应角相等D．以上都不对4．如果D是中BC边上一点，并且≌，则是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形二、填空题1．如图，若把沿着直线BC移动，它就和重合，那么和_________；对应相等的边分别是_________、_________、_________；对应相等的角分别是_________、__________、___________．2．如图，≌，则对应边有__________，对应角有________．3．如图，≌，则的对应角是___________，BD的对应边是__________．4．已知：≌，，cm，则．5．如果≌，cm，则cm．6．若≌，的周长为32cm，，则cm，cm，cm．7．如图，沿BC折叠，若A与D重合，则_____，其对应边为，对应角为． 8．如图，≌，写出相等的角和边9．已知，≌，则三、解答题1．如图，下列各题的全等三角形，经过怎样的运动才能完全重合．（1）≌；（2）≌；（3）≌．2．已知≌，若，你能求出的周长吗？3．如图，已知≌且，求证：．4．如图，在一条直线上运动到的位置，延长AC、相交于D点，（1）试说明；（2）试说明；（3）你还能发现哪些信息．5．如图，是由绕A点点逆时针旋转60°得到的，且．（1）求的度数；（2）若，求四边形的周长．参考答案一、选择题1．C2．A 3．C 4．D 二、填空题1．全等； 2．AC和AB，AE和AF，BE和CF；和3．4．70°，10cm5．47°，256．9，12，117．≌AB与DB、AC与DC、BC与BC与与与8．边：角：9．78°23三、解答题1．（1）把其中一个三角形沿AF所在的直线对折过去（2）把其中一个三角形绕O点旋转180°（3）把其中一个三角形沿的角平分线对折过去．2．周长为25cm3．≌且∴∴4．提示：≌5．（1）（2）8cm（提示：≌）

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《探索三角形全等的条件》典型例题例1分析下列结论：（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等（2）有两边和一角对应相等的两个三角形全等（3）判定两个三角形全等，至少需要一对对边应相等（4）三个角对应相等的两个三角形全等（5）三条边对应相等的两个三角形全等其中，正确的个数是（ ）A．1个 B．2个C．3个D．4个例2如图，在与中，如果，那么与全等吗？如果全等，请指出根据．例3如图，A、F、C、D在同一直线上，，问和能全等吗？如果全等请指出根据．例4如下图，，那么≌吗？例5如图，AC是的角平分线，且，试说明．BACDEF例6如图，那么，吗？例7已知：如图，是BC中点，E是AD上任意一点，连接EB、EC求证：例8如图，，那么，吗？例9如图，和BD交于点O，且，那么，吗？参考答案例1分析：（1）有两角和一边对应相等，只有两种情况：两角和夹边对应相等、两角和其中一角的对边对应相等，可以根据ASA、AAS判定全等，故（1）正确．（2）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形未必全等，如下图：故（2）错误．在与中但显然与不全等．（3）观察四个判定三角形全等的条件（包括后面将要学习的HL），每一个都至少要求一对边对应相等，故（3）正确．（4）三个角对应相等的两个三角形未必全等，如下图所示的两个三角形：根据SSS，（5）正确．解：选C．例2分析：在与中，由于，，根据三边对应相等，两个三角形全等，可知≌．解：≌，根据，即．说明：判断两个三角形是否全等，应找其全等应满足的条件．例3分析：在和中，由，可知；由，可知；而由可知，所以根据，可得≌．解：≌．根据：因为，所以，又因为，所以，因为，所以所以根据得，≌．说明：这个题也可以根据来判断，请读者自行试一试．例4分析：判定两个三角形全等，需要三个条件，已知两个条件：一对边对应相等，一对角对应相等，需要结合图形，寻找第三个条件，一般地，可以从以下几个方面考虑：①公共边②公共角③对顶角④直角．本题中有公共边，可以利用SAS来证明三角形全等，注意三个条件的罗列顺序，第一个是边相等，第二个是角相等，第三个是边相等．解：在和中∴≌（SAS）例5分析：要说明，只需说明≌，而，所以≌．解：在和中，因为，且AC平分，即．所以≌，根据是，所以．说明：在两个三角形中，来判断两个三角形的两条边相等，经常用判断这两个三角形全等的办法来判断，但需注意要判断相等的线段必须是这两个三角形的对应边．例6分析：如果≌，那么．通过在图形中表示已知条件可知，在和中有两对边对应相等，虽然还已知，但是和不是这两个三角形的内角，不能直接利用SAS来证明全等，如果能证明，就可以用SAS证明≌了．利用等式的性质，易证．解：（已知）∴（等式的性质）即在和中∴≌（SAS）∴（全等三角形的对应边相等）例7分析：本题比较复杂，可以用综合—分析法来证明，分析过程如下：（1）结合已知、求证观察图形，图中共有三组基本图形（哪三组？）．（2）看未知，需证，只需证≌，或证≌．（3）看已知，是BC中点，可得，，不要忽略图形中隐含的已知条件AE、DE、AD是三对全等三角形的公共边．（4）找需知，只需证得或，即可得到上述两个三角形全等（恰当选择SAS来判定）（5）再看已知，三组对应边对应相等，可以利用SSS来证明≌，就得到或证明：是BC中点∴在和中∴≌（SSS）∴（全等三角形的对应角相等）在和中∴≌（SAS）∴（全等三角形的对应边相等）例8分析：本图比较复杂，很难找到证明哪两个三角形全等，故可以采用分解法，将图形分解成和然后用相同的符号标示已知的相等条件，显然它们全等．解：在和中∴≌（SAS）∴（全等三角形的对应边相等）例9分析：假如≌，那么，但是，已知的两组线段不是这两个三角形的边，为充分利用条件，可以添加辅助线：连接AD，这样易证．解：连结AD在和中∴≌（SSS）∴（全等三角形的对应角相等）

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3.1认识三角形一、选择题1．现有两根木棒，它们的长度分别为20cm和30cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）A．10cm的木棒B．20cm的木棒C．50cm的木棒D．60cm的木棒2．以下列三条线段为边，能构成三角形的是（ ）A．3，6，12B．3，7，10C．2，6，9D．3，4，33．三角形的高在（ ）A．三角形外部B．三角形内部C．三角形的边上D．三角形内部、外部或与边重合二、填空题1．一个等腰三角形的周长为30cm，它有一条边长是另一条边长的一半，它的底边________cm，一腰长________cm．2．三角形的两边分别为4和5，第三边为，则的取值范围是_________．3．等腰三角形的腰长为6，它的底边长的范围是___________．4．若，线段c的长是正整数，则以a、b、c为边的三角形有__________种可能形状．5．中，，周长是一个偶数，则，是________三角形．6．如图，AD是的角平分线，且，则度，度．7．如图，，则度，度．8．如图，中，平分交AB于E，则的度数为_________，的度数为_________．9．如图，已知AD是的BC边的高，AE是的平分线，若则度．10．如图，图中共有_____个三角形，其中，以AC为一边的三角形有________，是中边_________的对角．11．如果用3根火柴作为一边，用8根火柴作为另一边摆三角形，那么第三边能用火柴的根数是________．12．若一个三角形的两个内角分别为53°和60°，则此三有形为________三角形．13．三角形三个内角的比为1：3：5，则最大内角是_________度，该三角形是_______三角形．三、解答题1．的周长为24cm，三边为a、b、c，且，求a、b、c．2．如图，点E是的两条角平分线的交点．（1）若，求的度数；（2）若，求的度数；（3）能是直角吗？能是锐角吗？说明理由．参考答案一、选择题1．B2．D3．D 二、填空题1． 6，122． 3．大于0，小于124．55．9，等腰 6．7．78，110 8．35，859．16° 10．8， 11．7、7、8、9、10 12．锐角 13．100钝角三、解答题1．2．（1）130°（2）80°（3）不能是直角，如果是直角则，不可能，同理也不能是锐角，如果是锐角则，不可能

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3.5 用三角形全等测距离1，如图，O为AC，BD的中点，则图中全等三角形共有（ ）对.A.2B.3C.4D.52，如图，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，那么△ACD≌△AEB的依据是（ ）A. ASA B.AASC.SASD.SSS 第1题图 第2题图3，如右图，要测量河岸相对两点A，B的距离，可以从AB的垂线BF上取两点C，D.使BC=CD，过D作DE⊥BF，且A，C，E三点在一直线上，若测得DE=15米，即可知道AB也为15米，请你说明理由.4，要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，O为卡钳两柄交点，且有OA=OB=OC=OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则次工件的外径必是CD之长了，你能说明其中的道理吗？5，如图，为修公路，需测量出被大石头阻挡的∠BAC的大小，为此，小张师傅便在直线AC上取点D使AC=CD，在BC的延长线上取点E，使BC=CE，连DE，则只要测出∠D的度数，则知∠A的度数也与∠D的度数相同了，请说明理由.6，有一座锥形小山，如图，要测量锥形两端A，B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A，B的距离，你能说说其中的道理吗？ 7，如图所示，要测量湖中小岛E距岸边A和D的距离，作法如下：（1）任作线段AB，取中点0；（2）连接DO并延长使DO=CO；（3）连接BC；（4）用仪器测量E，0在一条线上，并交CB于点F，要测量AE，DE，只须测量BF，CF即可，为什么？ 8，如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一边同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD，延长，使DF=BD，过F点作AB的平行线MF，连接MD，并延长，在延长线上取一点E，使DE=DM，在E点开工就能使A，C，E成一条直线，你知道其中道理吗？参考答案1，C 2，C 3，由题意可知，∠ABC=∠EDC=90º，BC=CD，∠BCA=∠DCE，从而△ABC≌△EDC，故AB=DE=15米4，显然由OA=OD，OB=OC，∠AOB=∠DOC，可知△AOB≌△COD，从而AB=CD.5，易知△ABC≌△DEC，故∠A=∠D6，由条件可知△ABC≌△DCE，故AB=DE7，由条件可知，△AOD≌△BOC，∴BC=AD，又∠A=∠B，∠AOE=∠BOF，BO=AO，故三角形△AOE≌△BOF，∴BF=AE，从而DE=CF，因此只要测出BF，CF即可知AE，DE的长度了.8，因为BD=DF，DE=DM，∠BDE=∠MDF，所以△BDE≌△FDM，故∠BEM=∠M，因此BE∥MF，又因为AB∥NF，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A，C，E在一条直线上.http://zhdduya100.taobao.com/

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3.1 认识三角形一、填空题1.按三角形内角的大小把三角形分为三类，即：_____.2.已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角.①如果∠A=90°，∠C=55°，那么∠B=_____；②如果∠A=90°，∠B－∠C=24°，那么∠B=_____，∠C=_____；③如果∠C=4∠A，∠A+∠B=100°，那么∠A=_____，∠B=_____.3.如图1，在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD=35°，则∠A=_____.4.如图2，已知∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高线，可得：∠1=_____，∠2=_____.(填写图中的角)图1图25.如图3，AE是△ABC中∠A的平分线，AD是BC边上的高线.①∵AE是△ABC的平分线∴∠_____=_____=∠_____∠②∵AD是△ABC的高∴∠_____=_____=90°∠ 图3图46.如图4，BF⊥AF，EC⊥AF，CD⊥AB，垂足为F、C、D，在△ABF中_____是AF边上的高，在△ACE中CE是_____边上的高，CD是△_____中_____边上的高，是△_____中_____边上的高，也是△_____中_____上的高.二、选择题7.以下是由四位同学描述三角形的三种不同的说法，正确的是()A.由三个角组成的图形叫三角形B.由三条线段组成的图形叫三角形C.由三条直线组成的图形叫三角形D.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形8.△ABC中，已知a=8,b=5，则c为()A.c=3B.c=13C.c可以是任意正实数D.c可以是大于3小于13的任意数值9.如图5，P为△ABC内一点，则∠A与∠P的大小关系是()图5A.∠A＞∠PB.∠A＜∠PC.∠A=∠PD.无法确定10.有下列长度的三条线段能构成三角形的是()A.1 cm、2 cm、3 cmB.1 cm、4 cm、2 cmC.2 cm、3 cm、4 cmD.6 cm、2 cm、3 cm11.△ABC中，如果∠A－∠B=90°，那么△ABC是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形三、解答题12.如图6所示，A、B、C、D四点可以构成多少个三角形？请写出上述三角形.图613.用纸任意剪三个锐角三角形，按下列要求用折纸的方法折出线段.①三角形的所有的角平分线；②三角形的所有的高. *14.用橡皮筋把四根筷子扎成一个方框，此时方框的形状不固定，至少再给你几根筷子，可以把这个方框的形状固定.参考答案一、1.锐角三角形直角三角形钝角三角形2.35°57°33°20°80°①②③3.35°4.∠B∠A5.①BAECAEBAC②BDACDA6.BFACACEAECDEEDADCAD边二、7.D8.D9.B10.C11.C三、12.可以构成4个三角形，它们是△ABC、△ABD、△ACD、△BCD13.略14.只要斜着再扎一根筷子，把方框构成两个三角形就可以使方框的形状不变

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认识三角形一：选择题（30分）1.在下列长度的四根木棒中，能与4cm，9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（　）A、4cmB、5cmC、9cm　D、13cm2.在△ABC中，∠A＋∠C＝∠B，那么△ABC是（）A、等边三角形B、锐角三角形　C、钝角三角形D、直角三角形　3.如图：PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且AP平分∠BAC，则△APD≌△APE的理由是　（　）A、SAS　B、ASA　C、SSS　D、AAS4.如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常象图中所示那样钉上两条斜拉的木条(图中的AB、CD两根木条)，这样做是运用了三角形的()A、全等性 B、灵活性 C、稳定性 D、对称性5.下列说法中错误的是（） A、三角形三条角平分线都在三角形的内部 B、三角形三条中线都在三角形的内部C、三角形三条高都在三角形的内部D、三角形三条高至少有一条在三角形的内部6.小明给小红出了这样一道题：如右图，由AB=AC，∠B=∠C，便可知道AD=AE。这是根据什么理由得到的？小红想了想，马上得出了正确的答案。你认为小红说的理由（）A、SSSB、SAS C、ASA D、AAS7.如图，点E在BC上，ED丄AC于F，交BA的延长线于D，已知∠D＝30°，∠C＝20°，则∠B的度数是（）A、20°B、30°　C、40°D、50°8.如图，AD、BE都是△ABC的高，由与∠CBE一定相等的角是（）EDCBAA、∠ABEB、∠BADC、∠DACD、∠C9.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，且∠BOC＝40°，则∠A=（　）A、10°　B、70°　C、100°　D、160°　10.如右图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E。已知AB=6cm，则△DEB的周长为（）A、5cmB、6cm C、7cmD、8cm二、填空题（21分）11.直角三角形的一个锐角的是32°，则另一个锐角是＿＿＿度。12.如图，∠A＝80°，∠2＝130°，则∠1＝＿＿＿＿度13.如图△ABC中，F是BC上的一点，且CF＝BF,那么△ABF与△ACF的面积比是＿＿＿＿＿14.三角形的两边工分别为2cm，5cm，第三边长为xcm也是整数，则当三角形的周长取最大值时x的值为＿＿＿cm。15.如图AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿(添加一个条件即可)16.如图，矩形ABCD中(AD>AB)，M为CD上一点，若沿着AM折叠，点N恰落在BC上，∠ANB+∠MNC=____________；17.已知Rt△ABC的两直角边长分别为3cm，4cm,斜边长为5cm，则斜边上的高等于＿＿＿cm。三、解答题（49分）18.(本题6分)如图14，按下列要求作图：(1)作出△ABC的角平分线CD；(2)作出△ABC的中线BE；(3)作出△ABC的高AF和BGEDCBAABCDNMBC图14A19.（本题6分）如图，点B,E,C,F在同一条直线上，且AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，则∠A＝∠D, 试说明理由。20．（本题6分）如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，则BD＝CD，试说明理由。21.（本题7分）在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，则AD⊥BC，请说明理由。22.（本题7分）如图，已知AB＝DE，∠D＝∠B，∠EFD＝∠BCA，则AF＝DC，请说明理由。23.（本题7分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，则∠A＝∠C，请说明理由。24.（10分）全等三角形对应边上的高相等，请说明理由（填空）。已知：如图，已知△ABC≌△A/B/C/，AD⊥BC于D，A/D/⊥B/C/于D/，请说明AD＝A/D/的理由。解：∵△ABC≌△A/B/C/，∴AB＝A/B/　（）∠B＝∠B/　（　）在△ABD和△A/B/D/中∠B＝∠B/　AB＝A/B/∠ADB＝∠A/D/B/＝90°（　）∴△ABD≌△A/B/D/　（　）∴AD＝A/D/（　）

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认识三角形一、从9cm，11cm，5cm，20cm中，选择适当的长度，填入下面的括号中。二、下面4条线段中，选出期中3条作为三角形的三边，可以是：三角形（1）的三边分别为________，_________，______。三角形（2）的三边分别为________，_________，______。三、从30°，40°。45°，60°，90°，120°中，选出适当的角度填入括号中。四、算出下面三角形中标有？的角的度数。

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3.2图形的全等一、判断题1．正方体的两个面是全等图形；（ ）2．所有半径相等的圆都是全等图形；（ ）3．面积相等的两个三角形是全等图形；（ ）4．所有的正方形都是全等图形；（ ）5．所有的等边三角形都是全等图形；（ ）二、填空题1．下列图形中是全等图形的是：__________2．从同一张底片上冲出来的两张五寸照片___________全等图形，从同一张底片上洗出来的一张五寸照片和一张七寸照片_____________全等图形（填是或不是）．3．如图，把沿直线BC为轴翻转180°后变到的位置，那么与________全等图形（填是或不是）；若的面积为3，则的面积为______________．三、解答题1．一个正方形纸片，沿着其对角线剪开得到两个三角形，这两个三角形是否全等？为什么？2．如图，分别是长方形、平行四边形、梯形、圆四种纸片，沿图中给的虚线剪开，都得到一对图形，问有哪几对是全等图形，并说明理由．参考答案一、判断题1．√2．√ 3．×4．×5．×二、填空题1．（2）与（3），（4）与（8），（1）与（9），（11）与（12）2．是不是3．是3三、解答题1．全等，互相重合2．长方形、平行四边形、圆，沿虚线剪开，所得的一对图形分别彼此全等理由是，剪开后相互重合：梯形剪开后所得的一对图形不是全等图形，理由是彼此不能重合．

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