2.2探索直线平行的条件（1）1．若∠1=52°，如图1，问应使∠C为多少度时，能使直线AB∥CD？图12．如图2，若∠1=∠4，∠1+∠2=180°，则AB、CD、EF的位置关系如何？ 图23．如图3，∠1=45°，∠2=135°，则l1∥l2吗？为什么？ 图3图44．如图4，∠1=120°，∠2=60°，问直线a与b的关系？5．在三角形ABC中，∠B=90°,D在AC边上，DF⊥BC于F，DE⊥AB于E，则线段AB与DF平行吗？BC与DE平行吗？为什么？图56．一辆货车在仓库装满货物准备运往超市，驶出仓库门口后开始向东行驶，途中向右拐了50°角，接着向前行驶，走了一段路程后，又向左拐了50°角，如下图所示：①此时汽车和原来的行驶方向相同吗？你的根据是什么？_______________________________________________________ ②如果汽车第二次向左拐的角度是40°或70°，此时汽车和原来的行驶方向相同吗？你的根据是什么？_____________________________________________________________.∠AOB和∠A′O′B′满足什么条件，直线OA与O′A′才平行？_______________________________________________________________ 2.2探索直线平行的条件（2）一、选择题：1．如图1，三条直线a、b、c相交于一点，则∠1+∠2+∠3=…………………………（ ）(A)360°(B)180° (C)120°(D)90°2．如图，下面推理中，正确的是……（ ）(A)∵∠A+∠D=180°,∴AD∥BC(B)∵∠C+∠D=180°,∴AB∥CD(C)∵∠A+∠D=180°,∴AB∥CD(D)∵∠A+∠C=180°,∴AB∥CD3．如果两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角…………（ ）(A)相等 (B)互补(C)相等或互余 (D)相等或互补4．如图3，DE∥BC，EF∥AB，则图中与∠BFE互补的角共有……………………（ ）(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 5．如图4，下列说法错误的是…………()A.∠1和∠3是同位角； B.∠1和∠5是同位角C.∠1和∠2是同旁内角； D.∠5和∠6是内错角二、如右图，∵∠1＝∠2 ∴ ∥ ， ∵∠2＝ ∴∥，（同位角相等，两直线平行）∵∠3＋∠4＝180°∴∥ ， ∴AC∥FG， 三、如图6，∵DE∥BC∴∠2= ， ∴∠B＋ ＝180°， ∵∠B＝∠4ABCDEFG1234ABCDEF43215图1图2图4图5图6图3∴ ∥ ，∴＋ ＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）四．如图7，∠BAF=46°，∠ACE=136°，CE⊥CD，问：CD∥AB吗？为什么？4．.如图8，当∠1=∠3时，直线a、b平行吗？当∠2+∠3=180°时，直线a、b平行吗？为什么？图7图8

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2.2探索直线平行的条件一、选择题1．已知如图AB、BE被AC所截，下列说法不正确的是（ ）A．与是同旁内角B．与是内错角C．与是同位角D． 与不是同位角2．已知如图：直线AB、CD被直线EF所截，则（ ）A．同位角相等B．内错角相等C．同旁内角互补D．两对同旁内角的和是360°3．已知如图直线被直线c所截，下列条件能判断的是（ ）A． B．C． D．4．如图，直线都与c相交，由下列条件能推出的是（ ）①②③④A．①B．①②C．①②③D．①②③④5．如图，下列条件中能判定的是（ ）A．B．C．D．6．如图，下列推理中正确的是（ ）A．∴B．∴C．∴D．∴二、填空题1．如图，；．；理由是____________．2．如图，，理由是____ __；若，要使．3．如图，与______互补，可以判定，与______互补，可以判定．4．在横线上填空，并在括号内填写理由．（1）∴（）（2）∴（）5．点D、E、F分别在AB、AC、BC上（1）∴（2）∴（3）∴（4）∴ 三、解答题1．如图，直线DE、FM，分别交的两边于N、G，P、Q，若吗？如果平行请说明理由．2．如图，已知：，则BC与EF平行吗？为什么？参考答案一、选择题1．C2．D3．C4．D5．D6．D二、填空题1．，同位角相等，两直线平行；2．180°，同旁内角互补两直线平行；50°3．4．（1）同位角相等，两直线平行（2）内错角相等，两直线平行5．（1）（2）（3）（4）三、解答题1．平行，因为，所以，所以根据同位角相等，两直线平行可得．2．平行

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2.4用尺规作线段和角一、判断题1．尺规作图是指用刻度尺和圆规作图()2．尺规中的尺是指没有刻度的直尺()3．用直尺和三角板过直线外一点作已知直线的平行线是尺规作图()4．最基本的尺规作图是作线段和角()二、填空题1．已知线段AB，求作：线段A′B′，使A′B′＝AB.　作法：(1)作射线A′C′.　(2)以点A′为圆心，以____________交A′C′于点B′，_________就是所作的线段．2．已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：(1)作射线O′A′　(2)以点O为圆心，以_________长为半径画弧交OA于点C，交OB于点D．(3)以点O′为圆心，以_________长为半径画弧，交O′A′于点C′．(4)以点C′为圆心，以_________长为半径画弧，交前面的弧于点D′．(5)过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求作的角．三、作图用尺规完成下列作图．1．已知线段a、b(a＞b)，利用尺规作线段c，使c＝a-b．2．已知∠、∠β(∠＞∠β)，求作一个角，使它等于∠-∠．参考答案一、1．×　2．√　3．×　4．√二、1．AB为半径画弧　A′B′2．任意长　OC　CD三、略　

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2.4用尺规作线段和角1．按要求画出下列角．（1）如图，试画出；（2）如图，试画出；（3）如图，试画出．2．按要求画出下面线段．（1）如图，试画出线段；（2）如图，试画出线段．3．用1：10000的比例尺，即用1cm表示100米，精确到0.1cm，按下列要求画图．如图，某人从O点向南偏西30°方向走了100米，到P点，从P点向南偏东60°方向走了173米，到Q点，再从Q点向北偏东30°，走了100米，到达A点，通过度量来计算一下该人这时到O点的距离和相对于O点的方位．参考答案1．（1）提示：的一边为要作的一边，在内作，则另一部分就是．（2）提示：以的一边为边，在的外部作2，就得到了；（3）提示：如答图，先以的一边OB边为边，在的外侧作，再作OE平分，则．2．略3．cm即OA的距离是170米，A点的方位是南偏东60°．

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2.4用尺规作线段和角1．按要求画角（1）如图，试画出的余角；（2）如图，试画出的补角；（3）如图，试画出3．2．按要求画出线段（1）如图，试画出线段2a；（2）如图，试画出线段． 3．如图，请在图中画出北偏西30°，南偏东45°．参考答案1．（1）如答图，作其中一边的反向延长线，设的顶点为O．①以O为圆心，任意长为半径画弧交直线AB为A、B两点；②分别以A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于E、F两点；③连结OE、既为所求．（2）（3）略2．略3．如答图

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探索直线平等的条件一、填空题:（每题5分，共20分）1、如图1，∠1和∠2是直线_______和直线________被直线_____所截得的同位角，∠2和∠3是直线_____和直线________被直线______所截得的__________角。321FEDCBAHG21EDCBA54321FEDCBA (1)(2)(3)(4)2、如图2，AC、BC分别平分∠DAB、∠ABE，且∠1与∠2互余， 则______∥_______，理由是_________________________________________。3、如图3所示，是同位角是的_________________，是内错角的是___________________，是同旁内角关系的是______________________________。4.如图4，∠B＝∠D＝∠E，那么图形中的平行线有___________________________，理由是_________________________________________。二、选择题:（每题6分，共36分）5.如图5，下列推理错误的是()A.∵∠1＝∠2,∴a∥bB.∵∠1＝∠3,∴a∥bC.∵∠3＝∠5,∴c∥dD.∵∠2＋∠4＝180°,∴c∥ddcba54321l3l2l14321DCBA (5)(6)(7)6.如图6，3条直线两两相交，其中同位角共有（）A.6对B.8对C.12对D.16对7.如图7，在下列四组条件中，能判定AB∥CB的是（）A.∠1＝∠2; B.∠3＝∠4;C.∠BAD＋∠ABC＝180°; D.∠ABD＝∠BDC8.在同一平面内有3条直线，如果其中只有两条平行，那么它们的交点个数为（ ） A.0B.1C.2D.39.若两条平行线被第3条直线所截，则一组同位角的平分线互相（） A.垂直B.平行C.重合D.相交10.如图，直线a、b与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2,②∠3＝∠6,③∠4＋∠7＝180°,④∠5＋∠3＝180°，其中能判断a∥b的是（ ）A.①②③④B.①③④C.①③D.②④三、解答题:（共44分）876cba5432111.如图，∠ABC＝∠ADC、DE是∠ABC、∠ ADC的角平分线，∠1 ＝∠2，求征DC∥AB。（7）321FEDCBA12.已知直线a、b、c在同一平面内，a∥b，a与c相交于p，那么b与c也一定相交，请说明理由，（7分）13.如图，∠B＝∠C，B、A、D三点在同一直线上，∠DAC＝∠B＋∠C，AE是∠DAC的平分线，求征：AE∥BC。（7分）21EDCBA14.如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，如果∠BMN＝∠D NF，∠1＝∠2，那么MQ∥NP，试写出推理，（7分）PQMN21FEDCBA15.如图，已知∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，问直线平行吗？为什么？（8分）l4l3l2l132116.平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？（8分）答案：1.AF，EF，AB；AB，CD，EF，内错2.GD；HE；同旁内角互补，两直线平行3.∠1与∠4，∠3与∠4，∠4与∠54.CD∥EF，内错角相等，两直线平行5.B6.C 7.D8.C9.B10.B11.∵BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线∴∠2=∠ABC，∠3=∠ADC∵∠ABC=∠ADC∴∠2=∠3∵∠1=∠2∴∠1=∠3∴DC∥AB12.假定b与c不相交，即平行，b∥c∵a∥b∴a∥c这与a与c相交于p矛盾故假设不成立∴b与c一定相交13.∵∠DAC=∠B+∠C，∠B=∠C∴∠DAC=2∠B，∠1=∠2∴∠1=∠B∴AE∥BC14.∵∠BMN=∠DNF，∠1=∠2∴∠BMN+∠1=∠DNF+∠2即∠QMN=∠PNF，MQ∥NP15.平行∵∠1+∠3=90°，∠2+（90°-∠3）＝180°∴∠3=90°-∠1，∠2+90°-90°+∠1=180°∴∠2+∠1=180°∴l1∥l216.平面上的10条直线，若两两相交，最多出现45个交点， 现在只要求出现31个交点，就要减去14个交点，这样就要出现平行线，在某一方向上有5 条

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4.用尺规作线段和角同步练习一、判断题1.尺规作图是指用刻度尺和圆规作图.（）2.尺规中的尺是指没有刻度的直尺.（）3.用直尺和三角板过直线外一点作已知直线的平行线是尺规作图.（）4.最基本的尺规作图是作线段和角.（）二、填空题1.已知线段AB，求作：线段A′B′，使A′B′=AB.作法：（1）作射线A′C′.(2)以点A′为圆心，以____________交A′C′于点B′，_________就是所作的线段.2.已知：∠AOB.求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB.作法：（1）作射线O′A′（2）以点O为圆心，以_________长为半径画弧交OA于点C，交OB于点D.(3)以点O′为圆心，以_________长为半径画弧，交O′A′于点C′.(4)以点C′为圆心，以_________长为半径画弧，交前面的弧于点D′.（5）过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求作的角.三、作图用尺规完成下列作图.1.已知线段a、b(a＞b)，利用尺规作线段c，使c=a－b.2.已知∠α、∠β(∠α＞∠β)，求作一个角，使它等于∠α－∠β.答略。

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2.4 用尺规作线段和角一、选择题:（每题10分，共30分）1. 如图1，射线OA表示的方向是（ ）A.西北方向; B.西南方向;C.西偏南10°;D.南偏西10° 2.如图2所示，下列说法正确的是（）A.OA的方向是北偏东30°;B.OB的方向是北偏西60°(1)(2)C.OC的方向是北偏西75°;D.OC的方向是南偏西75°3.画一个钝角∠AOB，然后以O为顶点，以OA为一边， 在角的内部画一条射线OC，使∠AOC＝90°，正确的图形是（ ）BCDAOBCAOBCAOBCACBAO二、解答题:（每题10分，共70分）4. 如图，已知∠1，∠2，求作一个角，使它等于2∠1－∠2。215.已知，直线AB和AB外一点P，作一条经过点P的直线CD，使CD∥A B。A80O东南北西3015CBA60O东南北西PBA DABCO6.已知，如图，∠AOB及其两边上的点C、D，过点C作CE∥OB，过点D作DF∥OA，CE、DF交于点P。7.如图，已知∠AOB＝α，以P为顶点，PC为一边作∠CPD＝α，并用移动三角尺的方法验证PC与OB，PD与OA是否平行。8.小明的一张地图上A、B、C三地，但地图被墨迹污染，C 地具体位置看不清楚了，但知道C地在A地的北偏东30°，在B地的南偏东45°，请你帮他确定C地的位置。9.如图，古塔直立地面上，塔的中心线OP与地面上的射线OA 成直角，为了测塔的大致高度，在地面上选取与点O相距50m的点A ， 测得∠OAP，用1cm代表10m（即1∶1000的比例尺），画线段AO，再画射线AP、 OP，使∠PAO＝30°，∠POA＝90°，AP、OP相交于P，量PO 的长（精确到1mm），再按比例尺换算出古塔的高。PABCO参考答案1.D 2.D 3.D4.略5.略6.略7.用三角尺平移可以验证得PC∥OB，但PD与OA不一定平行，∠CPD=∠AOB= ∠α，有两解，如图:8.C地有A地北偏东30°，与B地南偏东45°两条方向线的交点处9.（1）椐题意画出图形如图所示，其中AO=5cm，∠PAO=30°,∠POA=90°（2）量出PO约为2.9cm（3）设塔的实际高度为xm，据题意，得∴x=29∴古塔的实际高度为29m。PAO30

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在公式教学中设法提高学生的思维能力在数学公式教学中不仅要引导学生注重展示公式的形成过程，掌握公式的结构特征，揭示公式之间的联系，而且还要引导学生熟悉公式的各种变换，灵活应用公式，学会由浅入深、由表及里，顺用、逆用公式，进而达到变用与创用公式，以巧妙的活用代替生硬的套用公式，这样既利于学生对知识的掌握，更有利于提高学生思维能力，特别是创造性思维能力，本文拟谈谈有关公式教学的探索经验．1．顺用公式，深刻理解结构特征．分清公式的题设和结论是掌握数学公式的前提，现行教材中配备了不少顺用公式的例、习题，从中可训练学生将字母、符号表示的公式与语言叙述的公式互译，以加深对公式结构特征的深刻理解和记忆．这样，应用时才能准确无误，得心应手，也为活用公式、创用公式夯实基础．2．逆用公式，培养逆向思维．逆用公式解题，是训练学生逆向思维的重要手段，对于公式，由右向左逆用学生不习惯，然而逆用公式可以促使学生对公式理解更深刻，更能开发学生的智力．在教学中我注意了以下两点：（1）先使学生明确每个公式的逆命题是否正确，并注意其成立的条件．（2）通过公式的正逆比较，使学生明确有些题目逆用公式来解比较简便，以摆脱正向思维定势的影响，培养学生的逆向思维．例1计算本题可先用完全平方公式求出和，再求差，但运算量大，若先逆用平方差公式可得巧解．解原式．3．变用公式，培养思维的灵活性．为了能在更广阔的背景下运用公式，需要对公式进行各种变形，从而产生不同形式的新公式．变用公式可以培养学生思维的高度灵活性．例2已知，求下列各式的值：（1）；（2）．粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式可以有下列变形：，．可有如下解法：解（1）．（2）．又如在运用勾股定理时，若a、b、c为Rt的三边，且c为斜边，则．要求学生对此公式有如下几种变用方式：①，②，③，④，⑤．让学生熟悉各种变形，可以使学生在解题时，根据随时出现的问题的结构特征、表示形式、数量关系等信息，及时联想有关公式及其变形来寻求解题捷径．4．活用公式，培养思维的灵活性．有些问题，可以有不同的解法，在教学中要引导学生仔细观察题目的特征，活用公式，从而能寻求最佳的解题方法．例3计算．解法1若先用完全平方公式原式．解法2若先用平方差公式原式例4计算．学生初学两数和的完全平方公式，不能运用两数和的完全平方公式来计算例4，但是经过换元，可以转化为两数和的完全平方的形式．解由此可知，活用不同的公式，将会产生不同的解题效果．这对提高学生的分析问题．解决问题的能力大有裨益，也是开阔学生的思路，培养学生的发散思维、联想和创新能力的有效方法之一．5．创用公式，培养创造性思维．在教学过程中引导学生创造性地运用数学公式，让学生主动地去探索．不仅可以激发学生学习数学的兴趣，而且能培养学生刻苦钻研数学问题的热情和毅力，更能培养学生的创造性思维能力．创用公式的方法很多，现举例如下．例5计算乍看此题无公式可用，直接展开太繁，若添上一项（2－1），则可反复用平方差公式解决．解原式．例6计算．初看这两个因式不符合平方差公式的结构持证，难以运用公式求解．但若把－3拆为－4＋1，把5拆为4＋1，则运用公式的前景依稀可见．解原式．在运用公式的教学中，通过活用公式，能有效的让学生体会数学思想教学方法．进而培养和提高学生的思维能力，特别是创造性思维能力．

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1.7 平方差公式（2）一、学习目标与要求：1、了解平方差公式的几何背景；发展符号感和推理能力2、通过拼图游戏，与同伴交流平方差公式的几何背景二、重点与难点：重点：了解平方差公式的几何背景难点：发展推理和表达能力三、学习过程：复习巩固：1、判断正误(1) (a+5)(a-5)=a2-5(2) (3x+2)(3x-2)=3x2-4(3) (a-2b)(-a-2b)=a2-4b22、利用平方差公式计算：(1) (2) (3) (5m2-2n2)(2n2+5m2)(4) (x-2y)(x+2y)(x2+4y2)探索发现：一、探索平方差公式的几何背景如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形(1) 请表示图1-4中阴影部分的面积_____________________(2) 小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图），这个长方形的长和宽分别是多少？__________，它的面积是___________________(3) 比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？说一说验证的理由二、利用平方差公式探索规律(1) 计算下列各组算式，并观察它们的共同特点(2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？__________________________________________(3) 请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？三、巩固与提高例1 用平方差公式进行计算(1) (2) 例2 计算：(1) (2) 练习1、计算：(1) (2) 练习2、计算：(1) (2) x(x+1)+(2-x)(2+x)(3) (3x-y)(3x+y)+y(x+y)(4) 例3 填空(1) a2-4=(a+2)()(2) 25-x2=(5-x)( ) (3) m2-n2=()( )练习3 填空：(1) x2-25=()()(2) 4m2-49=( )( )(3) a4-m4=(a2+m2)()=(a2+m2)( )()练习4 计算：(1) 123452-12346×12344*(2) (22+1)(24+1)(28+1)(216+1)学习小结：给大家说一说你这节课的体会

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如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似现举例说明如下：例1计算规范解法∴解法步骤说明：（1）先把被除式与除式分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式的第一项除以除式的第一项，得，这就是商的第一项．（3）以商的第一项与除式相乘，得，写在的下面．（4）从减去，得差，写在下面，就是被除式去掉后的一部分．（5）再用的第一项除以除式的第一项，得，这是商的第二项，写在第一项的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式相乘，得，写在上述的差的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，例2计算．规范解法∴……………………………余．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴……………………………余．8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算．因为除法只对系数进行，和无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的＋号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例1用综合除法求除以的商式和余式．规范解法∴商式，余式＝10．例2用综合除法证明能被整除．规范证法这里，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是0，所以能被整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．．例3求除以的商式和余数．规范解法把除以2，化为，用综合除法．但是，商式，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴商式，余数．为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下．用除以，得商式，余数为，即∴．即除以的商式，余数仍为．

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1.8 完全平方公式一、填空题:(每题4分,共28分)1.(x+3y)2=______,()2=y2-y+1.2.( )2=9a2-________+16b2,x2+10x+______=(x+_____)2.3.(a+b-c)2=____________________.4.(a-b)2+________=(a+b)2,x2+ +__________=(x-_____)2.5.如果a2+ma+9是一个完全平方式,那么m=_________.6.(x+y-z)(x-y+z)=___________.7.一个正方形的边长增加2cm,它的面积就增加12cm2,这个正方形的边长是___________.二、选择题:(每题5分,共30分)8.下列运算中,错误的运算有( ) ①(2x+y)2=4x2+y2,②(a-3b)2=a2-9b2 ,③(-x-y)2=x2-2xy+y2 , ④(x-)2=x2-2x+, A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9.若a2+b2=2,a+b=1,则ab的值为( ) A.-1B.-C.- D.310.若,则=() A.-2 B.-1C.1 D.211.已知x-y=4,xy=12,则x2+y2的值是( ) A.28 B.40 C.26D.2512.若x、y是有理数,设N=3x2+2y2-18x+8y+35,则( ) A.N一定是负数B.N一定不是负数 C.N一定是正数D.N的正负与x、y的取值有关13.如果,则x、y的值分别为( ) A.,- 或-,B.-,- C.,D.,三、解答题:(每题7分,共42分)14.已知x≠0且x+=5,求的值.15.计算(a+1)(a+2)(a+3)(a+4).16.化简求值:,其中a=2,b=-1.17.已知-ab-bc-ca=0,求证a=b=c.18.证明:如果=ac,则(a+b+c)(a-b+c)()=.19.若a+b+c=0, =1,试求下列各式的值.(1)bc+ac+ab; (2) .参考答案1. x2+2xy+9y2,y-12.3a-4b,24ab,25,53.a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc4.4ab,-2,5.±66.x2-y2+2yz-z27.28.D9.B10.C11.B12.B13.A14.∵x+=5∴(x+)2=25,即x2+2+=25 ∴x2+=23∴(x2+)2=232即+2+=529,即=527.15.[(a+1) (a+4)] [(a+2) (a+3)]=(a2+5a+4) (a2+5a+6)= (a2+5a)2+10(a2+5a)+24=.16.原式=(a-b)[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)](a2+ab+b2)-2b(-1) =(a-b)·2ab(a2+ab+b2)-2b(-1) =(2a2b-ab2)(a2+ab+b2)-2b+2b =2a4b+a3b2+2a2b3-a3b2-a2b3-ab4-2a4b+2b =a2b3-ab4+2b.当a=2,b=-1时,原式=-10.17.∵a2+b2+c2-ab-bc-ca=0 ∴2(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0 ∴(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)=0即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0∴a-b=0,b-c=0,a-c=0∴a=b=c.18.左边=[(a+c)2-b2](a2-b2+c2)=(a2+b2+c2)(a2-b2+c2) =(a2+c2)2-b4=+2a2c2-b4=.19.(1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc∴ab+ac+bc=.(2)∵(bc+ac+ab)2=b2c2+a2c2+a2b2+2abc2+2acb2+2a2bc ∴b2c2+a2c2+a2b2=(ab+ac+bc)2-2abc(a+b+c)= ∴=(a2+b2+c2)4-2(a2b2+a2c2+b2c2)=1-2×.

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1.7 平方差公式【课内四基达标】1.填空题(1)(-x-y)(x-y)＝()2-()2(2)(x3-3)(3+x3)(9+x6)()＝x24-6561(3)［(a+2b)m+1+(2a-b)n］［(a+2b)m+1-(2a-b)n］＝ (4)(x+y)(-y+x)＝(5)(2-m+n)(2+m-n)-(1-m+n)(1+m-n)＝ 2.判断(正确的在括号内打√，错误的在括号内打×)(1)(2b+3a)(2b-3a)＝4b2-3a()(2)(2x2-y)(-2x2-y)＝4x2-y2()(3)(p-q)(p+q)＝p2-q2()(4)(x2+5y2)(x2-5y2)＝49x2-25y2()3.选择题(1)在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是()A.(x+1)(1+x)B.(a+b)(b-a)C.(-a+b)(a-b) D.(x2-y)(x+y2)(2)计算(0.7x+0.2a)(-0.2a+0.7x)，结果等于()A.0.7x2-0.2a2B.0.49x2-0.4a2C.0.49x2-0.14ax-0.04a2 D.0.49x2-0.04a2(3)用平方差公式计算(x-1)(x+1)(x2+1)的结果正确的是()A.x4-1B.x4+1 C.(x-1)4D.(x+1)4(4)在下列各式中，运算结果是x2-36y2的是()A.(-6y+x)(-6y-x)B.(-6y+x)(6y-x)C.(x+4y)(x-9y)D.(-6y-x)(6y-x)4.用简便方法计算(1)132×128 (2)7×85.计算(1)(a+2)(a4+16)(a2+4)(a-2)(2)(-x-0.7y)( x-0.7y)(3)(3xm+2yn+4)(3xm+2yn-4)(4)(a+b-c)(a-b+c)-(a-b-c)(a+b+c)(5)(x3+x2+x+1)(x3-x2+x-1)-(x3+x2+x+2)(x3-x2+x-2)【能力素质提高】1.若S＝12-22+32-42+……+992-1002+1012，则S被103除得到的余数是2.若A＝(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)，则A－1996的末位数字是()A.0 B.1 C.7D.93.计算：(3m2+5)(-3m2+5)-m2(7m+8)(7m-8)-(8m)24.解方程(2x+1)(2x-1)+3(x+2)(x-2)＝(7x+1)·(x-1).5.(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)(a-b)(a+b)，其中a=2,b=-1.【渗透拓展创新】已知：(-4x+3y)(-3y-4x)与多项式M的差是16x2+27y2-5xy，求M.【中考真题演练】(x3-y2)(-x3 -y2)参考答案【课内四基达标】1.(1)y,x(2)81+x12(3)(a+2b)2m+2-(2a -b)2n (4)x2-y2 (5)32.(1)×(2)×(3)×(4)×3.(1)B(2)D(3)A(4)D4.(1)16896(2)635.(1)a8-256(2)0.49y2-x2(3)9x2m+12xmyn+4y2-16(4)4bc(5)2x2+3【能力素质提高】1.提示S＝1+(32-22)+(52-42)+…+(992-982)+(1012-1002)＝1+(2+3)+(4+5)+…+(98+99)+(100+101)＝＝5151＝103×50+12.D3.-58m4+254.x＝25.63；提示：原式＝a6-b6【渗透拓展创新】5xy-36y2【中考真题演练】y4-x6

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《单项式除以单项式》典型例题例1 计算：（1）；（2）；（3）．例2 计算：（1）；　（2）．例3 计算：（1）；（2）．参考答案例1分析 ：（1）题根据法则分三部分求商的因式：①作为商的系数；②，，同底数相除，作为商的因式；③，只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．（2）题应先算乘方，再算除法．（3）题应用作为整体进行运算．解：（1）（2）（3）说明：在运算结果中要注意不多不漏，如（1）题，商式里不能多出字母，被除式里不能漏掉．例2 分析：此题是乘方、乘除混合运算，要注意运算顺序，有乘方有要先算乘方．解：（1） （2）说明:（1）计算时一定要看清运算符号，正确计算．（2）法则熟练后，解题过程可以适当简化．例3 分析：（1）题的底数不同，首先应化为同底数幂，把视作整体进行计算，（2）题先对除式进行乘方，把视作整体运用法则运算．解：（1）(2) 说明：多项式因式如果互为相反数时，注意符号．

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完全平方公式【课内四基达标】1.填空题(1)a2-4ab+( )＝(a-2b)2 (2)(a+b)2-( )＝(a-b)2(3)(-2)2＝-21x+ (4)(3x+2y)2-(3x-2y)2＝ (5)(3a2-2a+1)(3a2+2a+1)＝(6)()-24a2c2+()＝( -4c2)22.选择题(1)下列等式能成立的是().A.(a-b)2＝a2-ab+b2B.(a+3b)2＝a2+9b2C.(a+b)2＝a2+2ab+b2 D.(x+9)(x-9)＝x2-9(2)(a+3b)2-(3a+b)2计算的结果是().A.8(a-b)2B.8(a+b)2C.8b2-8a2D.8a2-8b2(3)在括号内选入适当的代数式使等式(5x-21y)·()＝25x2-5xy+41y2成立.A.5x-21yB.5x+21yC.-5x+21y D.-5x-21y(4)(5x2-4y2)(-5x2+4y2)运算的结果是().A.-25x4-16y4B.-25x4+40x2y2-16y2C.25x4-16y4D.25x4-40x2y2+16y2(5)如果x2+kx+81是一个完全平方式，那么k的值是().A.9B.-9 C.9或-9 D.18或-18(6)边长为m的正方形边长减少n(m＞n)以后，所得较小正方形的面积比原正方形面积减少了( )A.n2 B.2mnC.2mn-n2 D.2mn+n23.化简或计算(1)(3y+2x)2 (2)-(-21x3n+2-32x2+n)2  (3)(3a+2b)2-(3a-2b)2 (4)(x2+x+6)(x2-x+6)(5)(a+b+c+d)2 (6)(9-a2)2-(3-a)(3-a)(9+a)24.先化简，再求值.(x3+2)2-2(x+2)(x-2)(x2+4)-(x2-2)2，其中x=-21.   【能力素质提高】1.计算：(1)20012 (2)1.9992  2.证明：(m-9)2-(m+5)2是28的倍数，其中m为整数.(提示：只要将原式化简后各项均能被28整除)3.设a、b、c是不全相等的数，若x＝a2-bc，y＝b2-ac，z＝c2-ab，则x、y、z() A.都不小于0B.至少有一个小于0C.都不大于0D.至少有一个大于04.解方程：(x2-2)(-x2+2)=(2x-x2)(2x+x2)+4x 【渗透拓展创新】已知代数式(x-a)(x-b)-(x-b)(c-x)+(a-x)(c-x)，是一个完全平方式，试问以a、b、c为边的三角形是什么三角形?  【中考真题演练】一个自然数a恰等于另一自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数(如64＝82，64就是一个完全平方数).若a=19952+19952·19962+19962.求证：a是一个完全平方数.      参考答案【课内四基达标】1.(1)4b2(2)4ab(3)81x,641x2,4 (4)24xy(5)9a4+2a2+1(6)9a4,16c4,3a22.(1)C(2)C(3)A(4)B(5)D(6)C3.(1)9y2+12xy+4x2 (2)-41x6n+4-32x4n+4-94x4+2n(3)24ab(4)x4+11x2+36(5)a2+b2+c2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd(6)2a4-18a24.326421【能力素质提高】1.(1)4004001(2)3.996

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完全平方公式随堂演练判断1. (4x+3y)2=16x2+9y2()2. (a－b)的平方等于(b－a)的平方． ()　 单选4. 若(2a+3b)2=(2a－3b)2+( )成立, 则括号内的式子是 [] A.6abB.24abC.12abD.18ab5. 若(x－y)2=0, 下面成立的等式是 [] A.x2+y2=2xy B.x2+y2=－2xy C.x2+y2=0D.2x2－y2=06. 下列等式成立的是 [] A.(a－b)2=a2－ab+b2B.(a+3b)2=a2+9b2 C.(a+b)(a－b)=(b+a)(－b+a)D. (x－9)(x+9)=x2－9答案1. ×2. √3. √4. B5. A6. C

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1.8 完全平方公式【课内四基达标】1.填空题(1)a2-4ab+( )＝(a-2b)2 (2)(a+ b)2-( )＝(a-b)2(3)(-2)2＝-x+ (4)(3x+2y)2-(3x-2y)2＝ (5)(3a2-2a+1)(3a2+2a+1)＝ (6)()-24a2c2+()＝( -4c2)22.选择题(1)下列等式能成立的是().A. (a-b) 2＝a2-ab+b2B.(a+3b)2＝a2+9b2C. (a+ b) 2＝a2+2ab+b2 D.(x+9)(x-9)＝x2-9(2)(a+3b)2-(3a+b)2计算的结果是().A. 8(a-b)2B.8(a+ b)2C.8b2-8a2D.8a2-8b2(3)在括号内选入适当的代数式使等式(5x-y)· ()＝25x2-5xy+y2成立.A.5x-yB.5x+yC.-5x+y D.-5x-y(4)(5x2-4y2)(-5x2+4y2)运算的结果是().A.-25x4-16y4B.-25x4+40x2y2-16y2C.25x4-16y4D.25x4-40x2y2+16y2(5)如果x2+kx+81是一个完全平方式，那么k的值是().A.9B.-9 C.9或-9 D.18或-18(6)边长为m的正方形边长减少n(m＞n)以后，所得较小正方形的面积比原正方形面积减少了( )A.n2 B.2mnC.2mn-n2 D.2mn+n23.化简或计算(1)(3y+2x)2 (2)-(-x3n+2-x2+n)2 (3)(3a+2b)2-(3a-2b)2 (4)(x2+x+6)(x2-x+6)(5)(a+b+c+d)2 (6)(9-a2)2-(3-a)(3-a)(9+a)24.先化简，再求值.(x3+2)2-2(x+2)(x-2)(x2+4)-(x2-2)2，其中x=-.  【能力素质提高】1.计算：(1)20092 (2)1.9992 2.证明：(m-9)2-(m+5)2是28的倍数，其中m为整数.(提示：只要将原式化简后各项均能被28整除)3.设a、b、c是不全相等的数，若x＝a2-bc，y＝b2-ac，z＝c2-ab，则x、y、z() A.都不小于0B.至少有一个小于0C.都不大于0D.至少有一个大于04.解方程：(x2-2)(-x2+2)=(2x-x2)(2x+x2)+4x 【渗透拓展创新】已知代数式(x-a)(x-b)-(x-b)(c-x)+(a-x)(c-x)，是一个完全平方式，试问以a、b、c为边的三角形是什么三角形?【中考真题演练】一个自然数a恰等于另一自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数(如64＝82，64就是一个完全平方数).若a=19952+19952·19962+19962.求证：a是一个完全平方数.参考答案【课内四基达标】1.(1)4b2(2)4ab(3)x,x2,4 (4)24xy(5)9a4+2a2+1(6)9a4,16c4,3a22.(1)C(2)C(3)A(4)B(5)D(6)C3.(1)9y2+12xy+4x2 (2)-x6n+4-x4n+4-x4+2n(3)24ab(4)x4+11x2+36(5)a2+b2+c2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd (6)2a4-18a24.32+【能力素质提高】1.(1)4004001(2)3.9960012.略 3.D4.x=

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1.7平方差公式一、选择题1．下列各式能用平方差公式计算的是：（ ）A．B．C．D．2．下列式子中，不成立的是：（ ）A．B．C．D．3．，括号内应填入下式中的（ ）．A．B．C．D．4．对于任意整数n，能整除代数式的整数是（）．A．4B．3C．5D．25．在的计算中，第一步正确的是（ ）．A．B．C．D．6．计算的结果是（）．A．　B．　C． 　D．7．的结果是（）．A．　B．　C． 　D．二、填空题1．．2．．3．．4．．5．．6．．7．．8．．9．，则10．．11．（1）如图（1），可以求出阴影部分的面积是_________．（写成两数平方差的形式）12．如图（2），若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是________，长是________，面积是___________．（写成多项式乘法的形式）13．比较两个图阴影部分的面积，可以得到乘法公式__________．（用式子表达）三、解答题1．用平方差公式计算：（1）；　（2）；（3）；（4）；（5）；　（6）．2．计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．3．先化简，再求值，其中4．解方程：．5．计算：．6．求值：．参考答案一、选择题1．B 2．B 3．A4．C 5．C 6．D　7．B　 二、填空题1．x，4；2；　3．4．5． 6．7．；8．；　9．；10．0.999911． 12． 13．三、解答题1．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）8096（提示：）；（6）．2．（1）1；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）．3．原式=．4．．5．5050．6．．

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关于(a+b)2的推广对于公式(a+b)2＝a2+2ab+b2，可以从两方面推广：一是从指数推广；一是从项数推广．我们知道，(a+b)2＝a2+2ab+b2． ①由多项式的乘法，可以得到(a+b)3＝(a+b)2(a+b)＝(a2+2ab+b2)(a+b)＝a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3＝a3+3a2b+3ab2+b3． ②从展开式①，②中，可以看出如下规律：项数与次数项数比次数多1；展开式中的字母a按降幂排列，第一项的字母a的指数就是二项式的次数；而字母b则按升幂排列，末项b的指数也是二项式的次数； 各项中a，b指数的和都等于二项式的次数．系数首末两项的系数都是1；②式中第二项的系数是①式中第一、二项系数的和；②式中第三项的系数是①式中第二、三项系数的和．上述规律，从下面的表中可以很清楚地展示出来． 按上述规律，(a+b)4展开式各项的系数为1 4 6 4 1再结合项数与次数的规律，可得(a+b) 4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． ③由多项式的乘法验证，③的结果是对的．事实上，由③可以推出(a+b)5展开式各项的系数，等等．当二项式的次数不大时，我们利用项数与次数以及系数的规律可以将展开式写出来．例如(a+b)5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．如果你有兴趣，不妨按照上述规律写出(a+b)6的展开式．上述二项式展开式的系数表在我国宋朝数学家杨辉著《详解九章算法》(1261年)一书中用过．杨辉在注释中提到，贾宪也用过上述办法．因此，我们称上述系数表为杨辉三角或贾宪三角．下面看一看(a+b)2项数推广的情形．我们用语言表述公式(a+b)2＝a2+2ab+b2 ①为：两数和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两个数积的2倍．我们曾用多项式的乘法计算，得(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac． ②上式同样可用语言表述为：三数和的平方，等于这三个数的平方和，加上这三个数中每两个数的积的2倍．下面，我们用多项式的乘法计算四数和的平方．(a+b+c+d)2＝[(a+b)+(c+d)]2＝(a+b)2+2(a+b)(c+d)+(c+d)2＝a2+2ab+b2+2ac+2ad+2bc+2bd+c2+2cd+d2＝a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd． ③同样，上式用语言表述为：四数和的平方，等于这四个数的平方和，加上这四个数中每两个数的积的2倍．同学们如有兴趣，可利用公式②，③计算下列各题：1．(a+2b-c)2．2．(2x-y+3z)2．3．(a+b-c-d)2．4．(x-2y-z+2w)2．

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学习平方差公式应注意的八个变化平方差公式：平方差公式是初中数学最基本、用途最广泛的公式。学习时不仅记住公式的形式，还要把握住公式的实质，更重要的是弄清其形式的八个变化，以便更好地运用。下面本文结合例题归纳平方差公式的八个变化，供同学们学习时使用。1位置变化：例1计算：解：原式=2符号变化：例2计算：解：原式=3系数变化：（均不为0）例3计算：解：原式=4指数变化：（为正整数）例4计算：解：把视为，把视为，则有原式=5增项变化：例5计算：解：原式=6数字变化：有的数字乘法，变化后可用平方差公式例6计算：解：原式===7连用公式变化：（为正整数）例7计算：解： 原式= = ====8逆用公式的变化：例8计算：解：原式===综上可见，在平方差公式中，字母，可以表示具体数，也可以表示单项式或者多项式，甚至可以是任意代数式，只要符合公式的特征即可用这个公式计算，这是正确理解平方差公式的关键。

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