第1讲.整除、倍数与约数答案.pdf简介：
答 案见解析解析证明：若，是完全平方数．若，，所以，同奇偶，设．，即．把看成是二次方程的一个根，则有另一个根，满足，，从而是整数．，所以．若，则，证毕．若，有，不妨，则矛盾．所以只能有，．答 案见解析解析解答：只有有限个满足条件． 引理：．证明：考虑个颜色的小球排成一排，每个颜色小球有个的排列方法数．，，所以，所以．引理：．证明：只需证，归纳，只需．所以，，．模块模块1：整除：整除111例题1m=nk=m2m =n4 m+n∣∣∣()2mnm−n=2tk= 4mt+12m−t()2m−22t+4ktm+(2)t−2k=0mm′m+m=′2t+4kt2mm=′t−2km′k= ⩾4mt+1′2m−t(′)20m⩾′0m=′0k=t2m>′0mm=′t−2k<t2m<t∣∣m−t=()2mm−2t+()t⩽24t<24t+21m=′0k=t2例题2na !⋯a !a +⋯+a !1k∣(1k)ka kn!2012n!()2012∣()n!+1,n!=()1n!+1n!2012n!()()2012∣()2012n!>()n!()2013n!> ennnnlnn−lnn+⋯+ln1<()nnlnn+1−()nlnn<1 <(en)2013nn!<()20132012n!<()2012n()2012n <(en)20132012n()2012n<e201220132012例题3答 案见解析解析证明：记．对归纳．，．假设对于，均有．．对，，，求和，得．所以．由，知．即，其中是整数．所以由归纳假设，知道，所以．证毕．答 案见解析解析证明：采用反证法，假设有，并且，．，所以有，，，，，，，．，，所以，所以，．所以，矛盾．答 案见解析解析解答：只有，两组满足条件．如果，有，所以，，． 下设，对于，有．，所以．不是的倍数．对于，，，单独检验，没有解．����c����c�0����c�������������������b���������������������������c����i��c�0�������c��������������c�i����c�0�������c������������c���i����c�0��������������������∣∣∣�����������������������������������������������������������������c��i�������������������������������������������������������������������例题4�d�⩾�d���c��d������⩾����c����������c���c���c���c���d���d��d���d��⩾�����⩾�������������c�����⩾������⩽�(����)��b���⩽�(����)���⩽��b(����)�(����)������例题5������������c���S��S��S����������S����c����⩾��⩾���⩾�����⩾������������⩽������������b������������������c������������������������b�����������b������������������������c��S答 案见解析解析证明：最小为．对于，，，这个数，显然不满足题设性质．对于，，，这个二元集合，考虑任意一组，，分别除以得到的余数，，，必然有两个，处于上述的同一个二元集合．所以或者．答 案见解析解析解：当时，取可得的多种表示方法，以下我们假设 � 由于，所以又由于，故，而． 设，则若，则与①矛盾．故只能有，此时只有，一个解．故都满足要求．答 案见解析解析解：显然，设，则因此存在无穷多个使得，因此设，则，所以存在一个实数使得． 由于，所以也有，因此111例题6n101001⋯100810090,2017{}1,2016{}⋯1008,1009{}1009a 1⋯a10102017r 1⋯r 1010r ir jr =ir jr −ir =j0例题7n=1x,y=()t,t+1()nn�2n= ⇔xy+1x+y2y= ⇒nx−1x−n2nx−1 x−n��2n,nx−1=()1nx−1 x−n⇔��2nx−1 x−nn���2�2nx−1 nx−1���22�nx−1 n−1��3n�2⇒x =1d= nx−1n−13nx= ⇒dn+d−13()nd−1∣d�n+1nx= +dn−131<n⇒2x<n⇒nx−1>x−21>x−2nd=1x=n2y=nn�2例题8m>nm=n+ka+ma−1=aa+a−1−k�n2�a−1a+a−1()�k+1k�aa+a−1 a+a−1�n 展开>>

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