第12讲.特殊不定方程-答案.pdf简介：
答 案见解析解析解：(方程)．设，，考虑的两个根，，则有 命题得证．答 案见解析解析解：(方程)．一般组合类的题目，结论都比较极端．这道题不同排列中唯一不变的是，，，所以猜想只有是完方数时为二次排列．现在考虑若不为完方数时，我们如何构造一个排列不存在完方数．从最简单情况考虑，即按顺序排列，，，，若存在某个使得为完方数，则考虑调换，的位子，这样大部分求和不会改变，且一定不为平方数，剩下只需考虑是否存在使得与都为平方数．设，则有因此可知不存在连续两个完方数．按照之前所述调整可得到我们想要的数列． ，考虑的方程，最小解为，则其所有解为，，，，．模块模块1：：11例题1Pellα=a+2mab+nb2β=c+2mcd+nd2x+2mx+n=0ξ 1ξ 2α⋅β=a−bξ a−bξ c−dξ c−dξ =(1)(2)(1)(2)a−bξ c−dξ a−bξ c−dξ(1)(1)(2)(2=ac−bc+adξ +bdξ ac−bc+adξ +bdξ (()112)(()222)=ac−bc+adξ +bd−mξ −nac−bc+adξ +bd−mξ −n(()1(1))(()2(2))=ac−nbd−bc+ad+mbdξ ac−nbd−bc+ad+mbdξ (()1)(()2)=ac−nbd+()2mac−nbdbc+ad+bdm+()()nbc+ad+bdm()2例题2Pella 1a 2⋯a n 2nn+1() 2nn+1()123⋯k1+2+⋯+kkk+11+2+⋯+k−1+()k+1()k1+2+⋯+k1+2+⋯+k+1() =2kk+1()m2m<2 =2k+1k+2()()m+2k+1<()m+22m+1 =2nn+1()m⇒22n+1−()28m=21x−28y=21Pellx,y=()3,1()x= =23+ +3− (8)t(8)t2n+1t=123⋯答 案见解析解析解：(方程)．配方可知，考虑，．记，则有，，不难发现，因此，，，，．所以．答 案见解析解析解：(方程)．这道题就是要求的最小值．首先我们要消去，，消去的过程中不能产生太多误差，则要配成差的平方，则有则可知．显然是取不到的，下证可以无限靠近．不难发现，不能随便取，否则，未必有整数解．代数变形可得不妨设，否则不难推得．利用勾股方程一般解，不妨设，，，，，，有，，利用方程，可知有无穷多解，因此可以使得非常大，因此可知可以无限靠近．答 案见解析解析解：(方程)． 方法一：反证法，若不然，考虑方程．则，为方程的两组解，且显然是最小解，因此，比较的系数大小，可知，因此，．又，所以，矛盾． 方法二：通过介于两个平方数之间反证，但是因为两个都是奇数次，不好配平方，那么我们可以把���例题3����4�+3−()248�=21�−248�=21�≡3mod4()� +��=�487+ �48��� =�+17� +�48� �� =�+1� +�7� �� ≡�+1−� mod4�()�+� =487+ �48�2�−1�=123⋯� =� −87+ +7− (48)2�−1(48)2�−1 43例题4Pell �����+�−()28��=�−�⇒()2 −(��)26 +��1= ⩾(��−�)20 ⩾��3+2 23+2 2 ��3+2 2�����+�−()24��=�+�−()22��⇒�−�=()2�+2�2�,�=()1��,�∣()2�∣�=�−2�2�=2���−�=�+2�2�,�=()1�+�=�−2�+22���+2���=��−�2Pell�−�=�−2�−22���−�−()22�=21�=��−�2 ��3+2 2例题5PellPell�−2���=21�,1()�,�()Pell�,1()�+ ⋅�=�����+ ����� ���=2�=�+2���=2���+1=�2�1∣�������������������� ��解析解析解�(��)�������解�������������������解���解���������题��解 ����� ��������������� ��解析解析���������������������(������)�� ��� �� � � � ���������������������������� ���������������� ����������<�1�<�1��������<�����<����<�����<�<�����<����<����<�<�1���������<�<�1�����<����<�����题6������(��)�����1�����1���������1����1�������(�����1�)(�����1�)���������������� 展开>>

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