初中数学专题01 截长补短模型证明问题（教师版）.docx简介：
专题 01 截长补短模型证明问题【专题说明】截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现 a+b=c 时，用截长补短．【知识总结】1 、补短法： 通过添加辅助线构造一条线段使其为求证中的两条线段之和， 在证所构造的线段和求证中那 一条线段相等；2、截长法： 通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线 段中的另一段相等。3 、截长法与补短法， 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长， 使之与特定线段相等，再利用三角形全等有关性质加以说明， 这种做法一般遇到证明三条线段之间关系时常用。如图 1，若证明线段AB,CD,EF 之间存在 EF=AB+CD,可以考虑截长补短法截长法： 如图 2，在 EF 上截取 EG=AB,在证明 GF=CD 即可；补短法： 如图 3，延长 AB 至 H 点，使 BH=CD,再证明 AH=EF 即可.【类型】一、截长截长是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四种方法。方法一：如图 2 所示，在 BF 上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC(SAS)，则 MC=FC=FG ， ∠BCM=∠DCF，可得△MCF 为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45° ， ∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形 CGFM 为平行四边形，则 CG=MF，于是 BF=BM+MF=DF+CG.图 2方法二：如图 2 所示，在 BF 上截取FM=GC可证四边形 GCFM 为平行四边形可得 CM=FG=CF可得∠BFC=∠BDC=45° ，得∠MCF=90°又得∠BMC=∠DFC=135°于是△BMC≌△DFC(AAS)，BM=DF于是 BF=FM+BM=CG+DF上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰 Rt△BCD 和△MCF方法三：如图 3 所示，在 BF 上截取 FK=FD，得等腰 Rt△DFK，可证得∠DFC=∠KFG=135°，所以△DFC≌△KFG(SAS)，所以 KG=DC=BC，∠FKG=∠FDC=∠CBF，KG∥BC，得四边形 BCGK 为平行四边形， BK=CG，于是 BF=BK+KF=CG+DF图 3方法四如图 3 所示，在 BF 上截取BK=CG，可得四边形 BCGK 为平行四边形，BC=GK=DC，BC∥KG，∠GKF=∠CBF=∠CDF根据四边形 BCFD 为圆的内接四边形，可证得∠BFC=45° ， ∠DFC=∠KFG，于是△DCF≌△KGF(AAS)，DF=KF，于是 BF=BK+KF=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰 Rt△BDC 和△KDF。【类型】二、补短补短指的是选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短 的两条线段共线并寻求解题突破， 根据 辅助 线作法的不同也涉及四种不同的方法。 方法五：如图 4 所示，延长 GC 至 N，使 CN=DF，易证△CDF≌△BCN (SAS)，可得 CF=FG=BN， ∠DFC=∠BNC=135。，又知∠FGC=45。，可证 BN∥FG，于是四边形 BFGN 为平行四边形，得 BF=NG，所以 BF=NG=NC+CG=DF+CG.图 4方法六：如图 4 所示，延长 GC 至 N，使 NG=BF，得四边形 BFGN 为平行四边形，所以 BN=GF=CF，又∠DCF+∠CDF=∠CBN+∠BCN=45。，得∠DCF=∠CBN，又 CD=BC，可证△CDF≌△BCN (SAS)，DF=CN，以下从略.方法七：如图 5 所示，延长 CG 至 P，使 CP=BF，连接 PF，则四边形 CPFB 为平行四边形， PF=BC=DC，又∠BFC=45° ， ∠PFE=∠DEC，因为∠PFG=∠FGC－∠P= 45°－∠P，∠DCF=∠CFE－∠CDF=45°－∠CDF，又可证∠P=∠CBF=∠CDF，于是∠PFG=∠DCF，所以△PFG≌△DCF(SAS)，PG=DF，于是 BF=CP=CG+PG=CG+DF.图 5方法八：如图 5 所示，延长 CG 至 P，使 GP=DF，连接 PF，可证∠DFC=∠PGF=135° ，FC=CF，所以△DFC≌△PGF(SAS)，所以 DC=PF=BC，∠P=∠CDF=∠CBF=∠PCE ，BC∥FP，所以四边形 BCPF 为平行四边形，所以 BF=CP=CG+PG=CG+DF.方法九：如图 6 所示，延长 DE 展开>>

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