初中数学专题18 瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题（教师版）.docx简介：
专题 9 瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题【专题说明】点迹动轨问是中考的重要点题压轴.受生解析几何知的局限和思能力的束学识维缚,点往往成生 该压轴为学在中考中的一坎个,致使点成生在中考中失分的一黑洞该压轴为学个.掌握点的基本形该压轴图,建 构问题解的一般思路决,是中考的一重要途专题复习个径.本文就点迹的基本形作一述动轨问题图详.点迹基 动轨本型直型和弧型类为线圆.【知识精讲】点动轨迹一直， 利用为条线时垂段最短线求最。值(1) 当点迹确定可直接用垂段最短求最动轨时运线值(2) 点迹不易确定是直当动轨， 可通以下三方法行确定线时过种进①察观点到特殊位置， 如中点， 端点等位置是否存在点定直的端点接后的角度不，动运动时时动与线连变若存在点的迹直该动轨为线。②某点到某直的距离不当动条线，点的迹直。变时该动轨为线③当一点的坐以某字母的代式表示，若可化一次函，点的迹直。个标个数时为数则轨为线如图， P 是直线 BC 上一动点，连接AP，取 AP 中点 Q，当点 P 在 BC 上运动时，Q 点轨迹是？【分析】当 P 点轨迹是直线时， Q 点轨迹也是一条直线．可以这样理解： 分别过A 、Q 向 BC 作垂线， 垂足分别为 M、N，在运动过程中， 因为 AP=2AQ，所以 QN始终为 AM 的一半， 即 Q 点到 BC 的距离是定值，故 Q 点轨迹是一条直线．【引例】如图， △APQ 是等腰直角三角形， ∠PAQ=90°且AP=AQ，当点 P 在直线 BC 上运动时，求 Q 点轨 迹？【分析】当 AP 与AQ 夹角固定且 AP:AQ 为定值的话，P、Q 轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的 Q 点的位置，连线即可，比如 Q 点的起始位置和终点位置，连接即得 Q 点轨迹线段．【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ 是定值)；主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ 是定值)．结论：P 、Q 两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ(当∠PAQ≤90。时， ∠PAQ 等于 MN 与 BC 夹角)P 、Q 两点轨迹长度之比等于 AP:AQ(由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN)【例题】1 、如图， 正方形 ABCD 的边长为 4 ，E 为 BC 上一点，且 BE=1 ，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，以 EF 为边向右侧作等边△EFG，连接 CG，则 CG 的最小值为 ．【分析】同样是作等边三角形， 区别于上一题求动点路径长， 本题是求 CG 最小值，可以将 F 点看成是由 点 B 向点A 运动，由此作出 G 点轨迹：考虑到 F 点轨迹是线段，故 G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻 G 点在 G1 位置，最终 G 点在 G2 位置(G2 不一定在 CD 边)， G1 G2即为 G 点运动轨迹．CG 最小值即当 CG⊥ G1 G2的时候取到，作 CH⊥ G1 G2于点 H，CH 即为所求的最小值．根据模型可知： G1 G2与AB 夹角为 60°，故 G1 G2⊥ EG1．1322所以 CH= ，因此 CG 的最小值为．过点 E 作 EF⊥CH 于点 F，则 HF= G1E =1 ，CF= CE =2 、如图， 等腰 Rt△ABC 中，斜边AB 的长为 2 ，O 为 AB 的中点，P 为 AC 边上的动点， OQ⊥OP 交 BC 于 点 Q ，M 为 PQ 的中点， 当点 P 从点 A 运动到点 C 时， 点 M 所经过的路线长为()A ． 冗B ． 冗C ．1D ．2【解析】连接 OC，作 PE⊥AB 于 E ，MH⊥AB 于 H，QF⊥AB 于 F，如图∵△ACB 为到等腰直角三角形， ∴AC=BC=AB= ， ∠A=∠B=45°，∵O 为AB 的中点， ∴OC⊥AB ，OC 平分∠ACB ，OC=OA=OB=1 ， ∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90° ， ∠COA=90° ， ∴∠AOP=∠COQ，(三A = 三OCQ|在 Rt△AOP 和△COQ 中，〈 AO = CO，∴Rt△AOP≌△COQ ，∴AP=CQ，|三AOP = 三COQ易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形， ∴PE= AP= CQ ，QF=BQ，∴PE+QF= (CQ+BQ) =BC==1，∵M 点为 PQ 的中点， ∴MH 为梯形 PEFQ 的中位线，∴MH= (PE+QF) =，即点 M 到AB 的距离为，而 CO=1 ， ∴点 M 的运动路线为△ABC 的中位线，∴当点 P 从点A 运动到点 C 时 展开>>

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