初中数学专题21 一元二次方程在实际应用中的最值问题（教师版）.docx简介：
专题 6 一元二次方程在实际应用中的最值问题【应用呈现】1 、近年来，某县为发展教育事业， 加大了对教育经费的投入，2009 年投入 6000 万元，2011 年投入 8640 万元．(1)求 2009 年至 2011 年该县投入教育经费的年平均增长率；(2)该县预计 2012 年投入教育经费不低于 9500 万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？ 请通过计算说明理由．【解析】(1)设每年平均增长的百分率为x．6000 (1 + x)2 =8640，(1 + x)2 =1.44，∵ 1+x＞0，∴ 1+x=1.2，x=20%．答：每年平均增长的百分率为 20%；(2) 2012 年该县教育经费为 8640×(1+20%) =10368(万元)＞9500 万元．故能实现目标．2 、如图， 要建造一个四边形花圃 ABCD，要求 AD 边靠墙， CD⊥AD，AD∥BC，AB ∶CD＝5 ∶4，且三边 的总长为 20 m．设 AB 的长为 5xm.(1)请求AD 的长； (用含字母 x 的式子表示)(2)若该花圃的面积为 50 m2 ，且周长不大于 30 m，求 AB 的长．【解析】(1)作 BH⊥AD 于点 H，则 AH＝3x，由 BC＝DH＝20－9x 得AD＝20－6x(2)由 2(20－9x)＋3x5 1525＋9x≤30 得 x≥3，由2[(20－9x)＋(20－6x)]×4x＝50 得 3x2－8x＋5＝0 ，∴x1 ＝3，x2＝1(舍去) ，∴5x＝ 3.答：25AB 的长为 3 米【方法总结】一、一元二次方程判别式求解1 、已知 x、y 为实数，且满足x + y+ m = 5 ，xy + ym+ mx = 3 ，求实数 m 最大值与最小值。【解析】由题意得 (x + y = 5 − m〈xy = 3 − m(x + y) = 3 − m(5 − m) = m2− 5m + 3所以 x、y 是关于 t 的方程t 2− (5 − m)t + (m2− 5m + 3) = 0 的两实数根，所以 = [−(5 − m)]2− 4(m2− 5m + 3) > 0即3m2− 10m− 130解得 −1 mm 的最大值是，m 的最小值是－1。2、已知 m，n 是关于x 的一元二次方程 x2﹣ 2tx+t2﹣ 2t+4=0 的两实数根，则(m+2)(n+2)的最小值是()A ．7 B ．11C ．12 D ．16【解析】∵m ，n 是关于x 的一元二次方程 x2﹣ 2tx+t2﹣ 2t+4=0 的两实数根，∴m+n=2t，mn=t2﹣ 2t+4，∴ (m+2)(n+2) =mn+2(m+n) +4=t2+2t+8=(t+1) 2+7．∵方程有两个实数根，∴△=(﹣ 2t) 2﹣ 4(t2﹣ 2t+4) =8t ﹣ 16≥0，∴t≥2，∴ (t+1) 2+7≥(2+1) 2+7=16．故选 D．二、配方法求最值1 、设 a 、b 为实数， 那么a 2+ ab + b2− a − 2b的最小值为_______。【解析】 a 2+ ab + b2− a − 2b= a 2+ (b − 1)a + b2− 2b= (a + )2+ b2− b − = (a + )2+(b − 1)2− 1 > −1b − 12上式等号成立。故所求的最小值为－1。2 、将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点 D 在 AB 边上， △DEF 绕点 D 旋转， 腰 DF和底边 DE 分别交△CAB 的两腰 CA ，CB 于 M，N 两点， 若 CA=5，AB=6，AB=1：3，则 MD+的最小值为 ．【解析】∵AB=6，AB=1：3 ， ∴AD=6×=2 ，BD=6 ﹣ 2=4 ， ∵△ABC 和△FDE 是形状、大小完全相同的两个等腰三角形， ∴∠A=∠B=∠FDE，由三角形的外角性质得， ∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN， ∴∠AMD=∠BDN，∴△AMD∽△BDN， ∴ ， ∴MA•DN=BD•MD=4MD ， ∴MD+=MD+== ，∴当，即 MD=时 MD+有最小值为．故答案为： ．三、 夹逼 展开>>

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