初中数学专题12 斜截模型解直角三角形（教师版）.docx简介：
专题 12 斜截模型解直角三角形【精典例题】1 、如图，两座建筑物的水平距离 BC 为 40 m，从 A 点测得 D 点的俯角α 为 45°，测得 C 点的俯角 β 为 60°. 求这两座建筑物 AB ，CD 的高度．(结果保留小数点后一位，2≈1.414，3≈1.732)解析： 延长 CD，交 AE 于点 E，则 DE⊥AE，得矩形 ABCE.在 Rt△AED 中， AE＝BC＝40 m ， ∠EAD＝45°，∴ED＝AE·ta n45°＝40 m.在 Rt△ABC 中， ∠BAC＝30° ，BC＝40 m，∴AB＝40m.则 CD＝EC－ED＝AB－ED＝403－40≈29.3(m)．答：这两座建筑物AB ，CD 的高度分别为 69.3 m 和 29.3 m.2 、为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小 明同学为测量宣传牌的高度 AB，他站在距离教学楼底部 E 处 6 米远的地面 C 处，测得宣传牌的底部 B的仰 角为 60°，同时测得教学楼窗户 D 处的仰角为 30°(A ，B ，D ，E 在同一直线上)．然后，小明沿坡度 i＝1 ∶ 1.5 的斜坡从 C 走到 F 处，此时 DF 正好与地面 CE 平行．(1)求点 F 到直线 CE 的距离(结果保留根号)；(2)若小明在 F 处又测得宣传牌顶部A 的仰角为 45°，求宣传牌的高度 AB(结果精确到 0.1 米，2≈1.41， 3≈1.73)．解析： (1)过点 F 作 FG⊥EC 于点 G，依题意，知 FG∥DE，DF∥GE ， ∠FGE＝90°.∴四边形 DEGF 是矩形．∴FG＝DE.在 Rt△CDE 中， DE＝CE·tan∠DCE＝6×tan 30°＝2 .∴点 F 到直线 CE 的距离为 23米．(2)∵斜坡 CF 的坡度 i＝1 ∶ 1.5.∴Rt△CFG 中， CG＝1.5FG＝23×1.5＝3 .∴FD＝EG＝CG＋CE＝33＋6.在 Rt△BCE 中， BE＝CE·tan60°＝6 .在 Rt△AFD 中， AD＝DF·tan4 5°＝33＋6.∴AB＝AD＋DE－BE＝33＋6＋23－63＝6－3≈4.3.答：宣传牌的高度AB 约为 4.3 米．3、如图所示， 某工程队准备在山坡(山坡视为直线 l) 上修一条路，需要测量山坡的坡度，即 tanα 的值． 测量员在山坡 P 处(不计此人身高) 观察对面山顶上的 一座铁塔， 测得塔尖 C 的仰角为 31°，塔底 B 的仰角为 26.6°．已知塔高 BC=40 米，塔所在的山高 OB=240 米， OA=300 米，图中的点 O 、B 、C、A 、P 在同 一平面内．求：(1) P 到 OC 的距离．(2) 山坡的坡度 tanα．(参考数据 sin26.6°≈0.45 ，tan26.6°≈0.50；sin31°≈0.52 ，tan31°≈0.60)[来解析：(1) 如图，过点 P 作 PD⊥OC 于 D ，PE⊥OA 于 E，则四边形 ODPE 为矩形．在 Rt△PBD 中， ∵ ∠BDP＝90° ， ∠BPD＝26.6° ， ∴BD＝PD•tan∠BPD＝PD•tan26.6°；在 Rt△CPD 中， ∵ ∠CDP＝90° ， ∠CPD＝31° ， ∴CD＝PD•tan∠CPD＝PD•tan31°；∵CD ﹣ BD＝BC， ∴PD•tan31° ﹣ PD•tan26. 6°＝40 ， ∴0.60PD ﹣ 0 .50PD＝40，解得 PD＝400(米)， ∴P 到 OC 的距离为 400 米；(2)在 Rt△PBD 中， BD＝PD•tan26.6°≈400×0.50＝200(米)，∵OB＝240 米， ∴PE＝OD＝OB﹣BD＝40 米，∵OE＝PD＝400 米， ∴AE＝OE ﹣ OA＝400 ﹣ 300＝100(米)，∴tanα＝ ＝ ＝0.4 ， ∴坡度为 0.4．4、如图， 某中学数学活动小组在学习了利用三角函数测高后，选定测量小河对岸一 幢建筑物 BC 的高度，他们先在斜坡上的 D 处，测得建筑物顶端 B 的仰角为 30°，且 D 离地面的高度 DE＝5 m，坡底 EA＝30 m， 然后在 A 处测得建筑物顶端 B 的仰角是 60°，点 E，A ，C 在同一水平线上，求建筑物 BC 的高(结果用含有根号的式子表示)．解析： 如图，过点 D 作 DH⊥BC 于点 H，则四边形 DHCE 是矩形， ∴DH＝EC，DE＝HC＝5 m. 设建筑物 BC 的高度为 x m，则 BH＝(x－5)m.在 Rt△DHB 中， ∠BDH＝30°，∴DH＝3(x－5 )m，AC＝EC－EA＝[3(x－5)－30]m.在 R 展开>>

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