初中数学专题02 倍长中线模型构造全等三角形（教师版）.docx简介：
专题 02 倍长中线模型构造全等三角形【专题说明】 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于 构造全 等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系(通常用SAS 证明)(注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候)。【知识总结】题干中出现三角形一边的中线(与中点有关的线段)，或中点， 通常考虑倍长中线或 类中线， 构造全等三角形.把该中线延长一倍， 证明三角形全等， 从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线(线段)造全等AB CD在△ABC 中 AD 是 BC 边中线AB CD延长AD 到 E ，使 DE=AD，连接 BEAB CEDF作 CF⊥AD 于 F，作 BE⊥AD 的延长线于 E连接 BEACN延长 MD 到 N，使 DN=MD ，连接 CD1、如图， 已知在△ABC 中， D 为AC 中点，连接 BD.若 AB=10cm,BC=6cm,求中线 BD 的取值范围。解析： 如图，延长 BD 至 E,使 BD=DE,连接 CE,∵D 为AC 中点∴AD=DC,在△ABD 和△CED 中，BD=DE,∠ADB=∠CDEAD=CD∴△ABD≌△CED(SAS)∴EC=AB=10在△BCE 中， CE-BC＜BE＜CE+BC10-6＜BE＜10+6∴4＜2BD＜1 6∴2＜BD＜8BMD2 、已知，如图△ABC 中， AM 是 BC边上的中线，求证： AM＜(AB + AC)解析： 延长 AM 到 D，使 MD=AM,连 CD∵AM 是 BC 边上的中线，∴BM=CM又 AM=DM, ∠AMB=∠CMD∴△ABM≌△DCM， ∴AB=CD在△ACD 中， 则 AD＜AC+CD即 2AM＜AC+AB∴AM＜ (AB + AC)3、如图， 在△AB C 中， AD 交 BC 于点 D，点 E 是 BC 的中点，EF∥AD 交 CA 的延长线于点 F，交 EF 于点 G，若 BG=CF,求证： AD 为△ABC 的角平分线.解析： 延长 FE,截取 EH=EG,连接 CH可证得：△BEG≌△CEH (SAS)∴ ∠BGE=∠H,BG=CH∵CF=BG,∴CH=CF, ∴ ∠F=∠H=∠FGA∵EF∥AD∴∠F=∠CAD, ∠BAD=∠FGA[∴ ∠CAD=∠BAD∴AD 平分∠BAC.4、如图，AD 为△ABC 的中线，∠ADB 和∠ADC 的平分线分别交AB、AC 于点 E、F，求证：BE+CF＞EF.解析： 延长 ED 到 H,使 DE=DH,连接 CH,FH,∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD=DC∵DE、DF 分别为∠ADB 和∠ADC 的平分线∴ ∠1=∠4=∠ADB, ∠3=∠5=∠ADC又∵∠1=∠2 ， ∴ ∠4=∠2∴ ∠4+∠5=∠2+∠3=90°∴△EFD≌ △HFD(AAS)∴EF=FH(DE = DH|在△BDE 和△CDH 中，〈 三1= 三2，∴△BDE≌△CDH(SAS) ，∴BE=CH|BD = DC在△CFH中， 由三角形三边关系定理得： CF+CH＞FH∵CH=BE,FH=EH∴BE+CF＞EF.5、在 Rt△ABC 中，∠A=90°，点 D 为 BC 的中点，点 E,F 分别为AB，AC 上的点，且 ED⊥FD, 以线段 BE,EF,FC 为边能否构成一个三角形？若能，请判断三角形的形状？解析： 连接 AD，作 BG ∥FC,与 FD 延长线交于 G，连接 EG,∵BG 平行 FC， ∴∠FCD=∠DBG, ∠CFD=∠G[来(三DFC = 三G|在△DFC 和△BDG 中，〈 三FCD = 三DBG ，∴△DFC≌△BDG(AAS)|BD = CD∴FC=BG,DG=DF, ∠DBG=∠ACB又∵ED⊥FD, ∴EF=EG∵ ∠ABC+∠ACB=90° ， ∴ ∠ABG=∠ABC+∠DBG=∠ABC+∠ACB=90°∴△EBG 为直角三角∴BE.EF,FC 为边能构成一个三角形， 且为直角三角形【基础训练】1、如图， 已知在△ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长 BE 交 AC 于 F，AF=EF,求证：AC=BE.【解 析】倍长AD 至点 M，得 8 字全等△BMD≌△CAD(AAS)∵AF=EF∴ ∠FAE=∠FEA ，BE=BM∴AC=BM=BE2、如图所示， 已知△AB C 中， AD 平分∠BAC, 展开>>

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