初中数学专题03 一线三垂直模型构造全等三角形（教师版）.docx简介：
专题 03 一线三垂直模型构造全等三角形【专题说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转 900 ，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑， 作辅 助线， 构造全等三角形形或相似三角形， 建立数量关系使问题得到解决。【知识总结】过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等(AAS)常见的两种图形：图 1 图 21、如图， 在直角梯形 ABCD 中， AD∥BC，AB⊥BC,AD=2 ，BC=3，设∠BCD=α，以 D 为旋转中心， 将腰DC 绕点 D 逆时针旋转90°至 DE.当 α=45°时，求△EAD 的面积.当 α=30°时，求△EAD 的面积当 0°＜α＜90°，猜想△EAD 的面积与 α 大小有无关系，若有关，写出△EAD 的面积 S 与 α 的关系式， 若无 关，请证明结论.解析： ∵AD∥BC,DG⊥BC∴ ∠GDF=90°又∵∠EDC=90°∴ ∠1=∠2在△CGD 和△EFD 中∠DGC=∠DFE∠1=∠2CD=DE∴△DCG≌△DEF∴EF=CG∵AD∥BC,AB⊥BC,AD=2 ，BC=3∴BG=AD=2∴CG=1 ，EF=1 ，△EAD 的面积与 α 无关2、如图， 向△ABC 的 外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过 A 作 AH⊥BC 于 H，AH 的反向延长线与 EG 交于点 P，求证： BC=2AP解析： 过点 G 作 GM⊥AP 于点 M,过点 E 作 EN⊥AP 交 AP 的延长线于点 N∵四边形ACFG 是正方形∴AC=AG, ∠CAG=90°∴ ∠CAH+∠ACH=90°∴ ∠ACH=∠GAM在△ACH 和△GAM中∠AHC=∠GMA∠ACH=∠GAMAC=GA∴△ACH≌△GAM∴CH=AM ,AH=GM同理可证△ABH≌△EAN，△EPN≌△GPM∴NP=MP∴BC=BH+CH=AN+AM=AP+PN+AP-PM=2AP3、已知： 在△ABC 中， ∠BAC=90°，AB=AC，AE 是多点A 的一条直线，且 BD⊥AE 于 D ，CE⊥AE 于点 E. 当直线AE 处于如图 1 的位置时，有 BD=DE+CE,请说明理由.当直线 AE 处于如图 2 的位置时，则 BD、DE、CE 的关系如何？ 请说明理由.解析：(1) ∵BD⊥AE,CE⊥AE∴ ∠BDA=∠AEC=90°∴ ∠ABD+∠BAD=90°∵ ∠BAC=90°∴ ∠BAD+∠EAC=90°[∴ ∠ABD=∠EAC在△ABD 和△CAE 中∠ADB=∠CEA=90°∠ABD=∠EACAB=CA∴△ABD≌△CAE(AAS)AD=CE,BD=AE∵AE=AD+DE∴BD=DE+CE(2)在△ABD 和△CAE 中∠ADB=∠CEA=90°AB=CA∴△ABD≌△CAE(AAS)∴AD=CE,BD=AE[∵AE=DE-AD∴BD=DE-CE.4、如图， 在△ABC 中， ∠ABC=45°，点 F 是△ABC 的高AD 、BE 的交点， 已知 CD=4，AF=2，则线段 BC的长为()解析:∵AD 是△ABC 的高∴ ∠ADB=90°∵ ∠ABC=45°∴ ∠BAD=45°∴ ∠ABC=∠BAD∴AD=BD∵ ∠CAD+∠AFE=90° ， ∠CAD+∠C=90° ， ∠AFE=∠BFD∴ ∠AFE=∠C在△BDF 和△ADC 中∠CAD=∠FBDAD=BD∠BDF=∠ADC∴△BDF≌△ADC(ASA)∴DF=CD=4∴AD=AF+DF=2+4=6=BD∴BC=BD+CD=6+4=105、如图所示， 直线 α 经过正方形 ABCD 的顶点 A，分别过顶点 B,D 作 DE⊥α 于 点 F，若 DE=4 ，BF=3，则 EF 的长为()解析： ∵ABCD 是正方形， ∴AB=AD, ∠ABC=∠BAD=90°∵ ∠BAF+∠ABF=∠BAF+∠DAE，∴ ∠ABF=∠DAE在△AFB 和△AED 中， ∠ABF=∠DAE, ∠AFB=∠AED,AB=AD∴△AFB≌△AED∴AF=DE=4 ，BF=AE=3∴EF=AF+AE=4+3=76、如图， 矩形ABCD 中， E 在AD 上，且 EF⊥EC,EF=EC,DE =2，矩形的周长为 16，则 AE 的长是()解析： ∵矩形ABCD 中， EF⊥EC,∴ ∠DEC+∠DCE=90° ， ∠DEC+∠AEF=90° ， ∴ ∠AEF=∠DCE,又∵EF=EC，∴△AEF≌△DCE(AAS)， ∴AE=CD∵矩形的周长为 16，即 2CD+2AD=16，∴CD+AD=8 ∴AD-2+AD=8AD=5∴AE=AD-DE=5-2=3.7、如图， 在△A 展开>>

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