初中数学专题13 将军饮马模型与最值问题（教师版）.docx简介：
A'专题 1 将军饮马模型与最值问题【模型导入】什是么将？军饮马白日登山望烽火，昏傍交河黄饮马，是唐代人李《古行》里的一句。而由此却引申出一系这诗颀从军诗列非常有趣的， 通常数学问题称为将军饮马。【模型描述】如图， 将军在图中点 A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营， 问： 将军怎么走能使得路程最短？B军营将军A河【模型抽象】如图， 在直线上找一点 P 使得 PA+PB 最小？BPBPA'这个问题的难点在于 PA+PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道两点之间， 线段最短 、点到直线的连线中，垂线段最短等，所以此处， 需转化问题， 将折线段变为直线段．【模型解析】作点A 关于直线的对称点A，连接 PA，则 PA=PA，所以 PA+PB=PA+PB当 A 、P、B 三点共线的时候， PA+PB=AB，此时为最小值(两点之间线段最短)BA 端点P 折ANP【模型展示】【模型】一、两定一动之点点在 OA 、OB 上分别取点 M、N，使得△PMN 周长最小．A B OAB此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OA(折点 M 所在直线)、OB(折点 N 所在直线) 的对称点，化折 线段 PM+MN+NP 为 PM+MN+NP，当 P、M、N、P共线时，△PMN 周长最小．【例题】 如图，点 P 是∠AOB 内任意一点， ∠AOB=30° ，OP=8，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线OB上 的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．O MAP'BNPMP''【分析】△PMN 周长即PM+PN+MN的最小值，此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OB、OA 对称点 P、 P，化 PM+PN+MN 为 PN+MN+PM．【解析】当 P 、N、M、P共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段 PP长， 连接 OP 、OP，可得△OPP为等 边三角形， 所以 PP=OP=OP=8．P' BNMP''PBNOOAAMPONP'MPP【模型】二、两定两动之点点在 OA 、OB 上分别取点 M、N 使得四边形 PMNQ 的周长最小。AMQBNAONB考虑 PQ 是条定线段， 故只需考虑 PM+MN+NQ 最小值即可， 类似， 分别作点 P 、Q 关于 OA 、OB 对称， 化 折线段 PM+MN+NQ 为 PM+MN+NQ，当 P 、M、N、Q共线时，四边形 PMNQ 的周长最小。【模型】三、一定两动之点线在 OA 、OB 上分别取 M、N 使得 PM+MN 最小。AMPBONO NB此处 M 点为折点，作点 P 关于 OA 对称的点 P，将折线段 PM+MN 转化为 PM+MN，即过点 P作OB 垂线 分别交 OA 、OB 于点 M、N，得 PM+MN 最小值(点到直线的连线中，垂线段最短)题型一 将军饮马中两定一动模型与最值问题【专题说明】的解法这类问题主要是通， 点所在直同的定点中的一映射到直的另一，化过轴对称将动线侧两个线侧转为点之段最短。两间线问题P'MQOPP1 、如图， 在中，，是的两条中线，是上一个动点， 则下列线段的长度等于最小值的是( )【解析】，AD 是的中线，可得点 B 和点 D 关于直线 AD 对称，连结 CE，交 AD 于 最小，为 EC 的长，故选 B.2、如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE＝2，AB＝8，P 是 AC 上一动点，则 PB+PE 的最小值_____．【解析】如图：连接 DE 交AC 于点 P，此时 PD＝PB，PB+PE＝PD+PE＝DE 为其最小值，∵四边形ABCD 为正方形，且 BE＝2，AB＝8，∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6，在 Rt△ADE 中，根据勾股定理， 得 DE＝∴PB+PE 的最小值为 10．在中，点 P，此时AD2+ 82+ ＝＝DACB3、如图， 在平面直角坐标系中， 矩形OABC 的边BC 交x 轴于点D ，AD ⊥ x轴， 反比例函数y = (x > 0)的图象经过点 A ，点 D的坐标为(3, 0) ， AB = BD ．(1) 求反比例函数的解析式；(2)点 P为y 轴上一动点， 当PA 展开>>

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