初中数学最值问题经典100题（教师版）.docx-文可居文库

初中数学最值问题经典100题（教师版）.docx

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初中数学最值问题经典100题（教师版）.docx简介：
PCP1.如图 3.1 所示，在 Rt△ABC 中， ∠A=30°，AB=4，点 D 为边AB 的中点，点 P 为边 AC 上的动点，则PB+PD 的最小值为( )A. B.2A.2 A.4ACD图3.1B1.解延长 BC 至点B'，使 BC = B' C ，连接B' P 、B' A ，如图 4.1 所示，∴AC 垂直平分BB'， ∴ B' A = BA ， ∴AC 平分三B' AB .∵ 三CAB = 30。， ∴ 三B' AB = 60。， ∴ ABB' 为等边三角形.∵点 P 为AC 上一点， ∴ PB = PB'， ∴ PB + PD = PB'+ PD > B' D ，当且仅当B'、P、D 在同一直线上时，如图 4.2 所示， PB + PD 取得最小值.在RtADB'中， AD =AB = 2 ，三B' AB = 60。， ∴ B' D = AD tan 60。= AD = 2 ，故答案是 C.B'A BD图 4.1AB'图 4.2思路点拨:这是典型的将军饮马型线段和最值问题，利用对称法将动线段构造至动点 P所在直线的两侧；根据两点之间线段最短找到最小值位置，利用勾股定理进行计算即可.拓展若点 D 为边 AB 上任意一定点，则依旧可以根据勾股定理和 60°特殊角计算B' D 的长度；若点 D 是边 AB 上的一动点，则 B' D 将变为一条动线段，利用垂线段最短可确定最值位置还是在中点处.2.如图 3.2 所示，在矩形 ABCD 中， AB=5，AD=3，动点 P 满足S PAB= S矩形ABCD，则点 P 到 AB 两点距离之和 PA+PB 的最小值为 .D CPA B图3.22.解令点 P 到AB 的距离为 d.∵ SPAB= 3 S矩形ABCD = 33 5=5= 2 d 5 ， ∴ d = 2 ，∴点 P 为到 AB 距离为 2 的直线l1、l2上的点.直线l1、 l2关于 AB 对称，因此选其中一条进行计算.作点 B 关于直线l1的对称点B'，连接 B' C 、B' P 、 AB'，如图 4.3 所示，∴ PA + PB = PA + PB'> AB'，当且仅当A 、P 、B' 三点共线时取得最小值，如图 4.4 所示.11 1BCP在RtABB'中， AB = 5 ，BB'= 2d = 4 ，∴ AB'===，故PA + PB 的最小值是 .思路点拨:这是典型的将军饮马型线段和最值问题.根据题目中中给出的面积关系，可判断点 P的运动轨迹为直线(或称为隐线)；利用轴对称的性质，构造对称点B'，再运用线段公理获得不等式；根据勾股定理计算最值 AB' .3.如图 3.3 所示，在矩形ABCD 中，AD=3，点 E 为边AB 上一点，AE=1，平面内动点P 满足S PAB= S矩形ABCD，则 DP -EP的最大值为.DCAE图3.3B3.解令点 P 到AB 的距离为 d.∵ SPAB=S矩形ABCD， ∴ d = 2 ，∴点 P 在到 AB 距离为 2 的直线l1、l2上，如图 4.5 所示.作点 E 关于直线l1的对称点E' ，连接 E' D 并延长交直线l1于点 P，连接 EP，如图 4.6 所示，∴ E' P = EP .当点 P在直线 l1上时，DP − EP = DP − E P'E' D ，当且仅当 D 、 E'、P三点共线时取得最大值 E' D ==.当点 P 在直线l2上时， DP − EP ED ，当且仅当 D 、E、P 三点共线时取得最大值，如图 4.7 所示.在 Rt△ADE 中， AD = 3 ， AE = 1 ， ∴ DE ==，∴ DP − EPED =，∴当点 P 为 DE 的延长线与直线l2的交点时有最大值 .2思路点拨:解法如题 2，需要找出满足条件的点 P 所在的隐线，这里两条直线均要考虑(因为图形不对称) . 由于两边之差小于第三边展开>>

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