初中数学专题19 瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题（教师版）.docx简介：
专题 7 瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题【专题说明】点的迹定动轨为圆时，可利用： 一定点上的点距离最大定点到心的距离半之和，最小与圆动值为圆与径值定点到心的距离半为圆与径之差的性求解。质确定点迹或者弧型的方法动轨为圆圆:(1) 点到定点的距离不， 动变则点的迹是或者弧。轨圆圆(2) 某所的角是定， 角的点的迹是， 具体用如下当条边与该边对值时该顶轨圆运;①见直角， 找斜， 想直，定外心，形边径现圆②见定角， 找， 想周角，心角，形对边转现圆【知识精讲】如图， P是圆O 上一个动点， A 为定点，连接 AP，Q 为 AP中点．考虑： 当点 P在圆O 上运动时， Q 点轨迹是？【分析】观察动图可知点 Q 轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆 O 有什么关系？考虑到 Q 点始终为 AP中点，连接 AO，取 AO 中点 M，则 M 点即为 Q 点轨迹圆圆心，半径 MQ 是OP一半，任意时刻， 均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定 Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径，由 A 、Q 、P始终共线可得：A 、M、O 三点共线，由 Q 为 AP中点可得：AM=1/2AO．Q 点轨迹相当于是 P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系【分析】圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系【分析】轨迹圆半径数量关系．如图， P是圆O 上一个动点， A 为定点，连接 AP，作 AQ⊥AP且AQ=AP．考虑： 当点 P在圆O 上运动时， Q 点轨迹是？【分析】Q 点轨迹是个圆，可理解为将 AP绕点 A 逆时针旋转 90°得 AQ，故 Q 点轨迹与 P点轨迹都是圆．接 下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足AM=AO，且可得半径 MQ=PO．即可确定圆 M 位置， 任意时刻均有△APO≌△AQM．如图， △APQ 是直角三角形，∠PAQ=90°且 AP=2AQ，当 P在圆O 运动时， Q 点轨迹是？【分析】考虑AP⊥AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足AO:AM=2:1．即可确定圆 M 位置， 任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为 2．【模型总结】为了便于区分动点 P、Q，可称点 P为主动点，点 Q 为从动点．此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ 是定值)；主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ 是定值)．【结论】(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ= ∠OAM；(2) 主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆， Q 与 P的关系相当于旋转+伸缩．古人云：种瓜得瓜， 种豆得豆．种圆得圆，种线得线， 谓之瓜豆原理．【例题】1 、如图， 在RtABC 中， 三C = 90。， AC = 4 ，BC = 3，点 O 是AB 的三等分点， 半圆 O 与 AC 相切，M，N 分别是 BC 与半圆弧上的动点， 则 MN 的最小值和最大值之和是()A ．5B ．6 C ．7D ．8【解析】如图， 设⊙O 与AC 相切于点 D，连接 OD，作 OP ⊥ BC 垂足为 P 交⊙O 于 F，此时垂线段 OP 最短，PF 最小值为 OP − OF ，∵ AC = 4 ，BC = 3 ， ∴ AB = 5∵ 三OPB = 90。， ∴ OP AC210OP OB 28∵点 O 是 AB 的三等分点，∴ OB =5 = ，= =，∴ OP =，3 3AC AB 3 3∵⊙O 与 AC 相切于点 D，∴ OD ⊥ AC ， ∴ OD/BC ，OD OA 1∴ = =，∴ OD = 1 ，BC AB38 5∴MN 最小值为OP − OF = −1 = ，33如图， 当 N 在AB 边上时，M 与 B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，10 1 展开>>

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